4. Взаимосвязь стационарных и экстремальных значений.
Следует хорошо усвоить разницу между стационарным значением и экстремумом, а также взаимосвязь между этими двумя понятиями. Для стационарного значения требуется лишь обращение в нуль первой вариации, без каких бы то ни было ограничений на вторую вариацию. Для экстремума требуется, помимо обращения в нуль первой вариации, выполнение некоторых условий для второй вариации. До сих пор мы рассматривали вопрос об экстремумах для внутренних точек заданной области пространства конфигураций. Функция, не допускающая экстремумов внутри некоторой области, может иметь их на границе области, где направления перемещений уже не обратимы. Поэтому наше утверждение, что первая вариация должна обратиться в нуль, так как в противном случае ее можно сделать и положительной и отрицательной, больше не имеет места.
При необратимых перемещениях функция может иметь экстремум и не в стационарных точках. В этих случаях экстремум существует без обращения в нуль первой вариации. Шар, катящийся по желобу, приходит в состояние равновесия в наинизшей точке желоба, где касательная к его траектории горизонтальна. Но шар можно остановить и раньше при помощи колышка, который не даст ему скатиться донизу. Шар при этом находится в своем наинизшем из всех возможных положений, хотя тангенс угла наклона желоба не равен нулю и высота не имеет стационарного значения. Последнее и не требуется, так как шар находится на границе области пространства конфигураций и вариации его положения не обратимы по направлению.
Резюме. Экстремум функции требует стационарного значения лишь в случае перемещений, обратимых по направлению. На границах области пространства конфигураций, где обратимость не имеет места, экстремум может достигаться и не в стационарных точках.
