3. Пространство конфигураций.

Одним из наиболее важных понятий, используемых при абстрактном аналитическом решении задач механики, является понятие о пространстве конфигураций. Подобно тому, как трем величинам х, ставится в соответствие точка трехмерного пространства, можно рассматривать величин как прямоугольные координаты «точки» в -мерном пространстве. Аналогично обобщаются понятия «кривой» и движения точки вдоль кривой. Вместо системы уравнений для обычного трехмерного пространства

теперь пишется система

Эти уравнения представляют собой решение задачи динамики. Им соответствует геометрическая картина, в которой точка -мерного пространства движется по некоторой кривой в этом пространстве.

Этот геометрический образ очень помогает нашему мышлению. Независимо от количества частиц, входящих в данную механическую систему, и от сложности соотношений между ними система в целом изображается одной точкой многомерного пространства, называемого «пространством конфигураций». Например, пбложение твердого тела,

состоящего из бесконечного количества материальных точек, изображается одной точкой в -мерном пространстве. Это -мерное пространство, конечно, не является физической реальностью для данного твердого тела. Оно просто скоррелировано с твердым телом в смысле взаимно однозначного соответствия: различные положения тела «отображаются» на различные точки -мерного пространства и, наоборот, разные точки -мерного пространства могут быть физически интерпретированы как разные положения твердого тела. Для краткости мы будем называть точку пространства конфигураций, изображающую положение механической системы, «С-точкой», а кривую, описываемую этой точкой в процессе движения системы, - «С-кривой».

Построенная нами картина пространства конфигураций нуждается в дальнейших уточнениях. Мы основывались в своих рассуждениях на аналитической геометрии n-мерного евклидова пространства и соответственно считали обобщенных координат механической системы прямоугольными координатами в этом пространстве. Если же заменить аналитическую геометрию дифференциальной, как это будет сделано в п. 5 этой главы, то можно получить картину, гораздо лучше отображающую геометрическую структуру пространства конфигураций. Однако и наша первая схема может быть весьма полезной. Продемонстрируем это на следующем примере.

Положение свободной частицы в пространстве можно определить с помощью сферических координат Если принять эти величины за прямоугольные координаты точки, то построенное таким образом пространство будет сильно отличаться по своим геометрическим свойствам от реального пространства. Прямые линии перейдут в кривые, углы и расстояния изменятся. Однако ряд важных характеристик пространства при этом преобразовании сохранится. Точка перейдет в точку, окрестность точки преобразуется в окрестность, кривая останется кривой, смежные кривые останутся смежными. Непрерывность и дифференцируемость кривых также сохранятся. Для операций вариационного исчисления важны именно такие «топологические» свойства пространства, в то время как «метрические» свойства — расстояния, углы, площади и т. п. — не играют роли. Поэтому даже упрощенная картина пространства конфигураций,

не обладающего соответствующей геометрией, может быть с успехом использована при исследовании абстрактных аналитических операций.

Резюме. Наглядная картина n-мерного пространства дает возможность распространить механику одной материальной точки на сколь угодно сложные механические системы. Такая система заменяется одной точкой, движение которой и изучается. Однако пространство, в котором находится эта точка, уже не является обычным физическим пространством. Это абстрактное пространство, количество измерений которого определяется условиями задачи.