4. Задачи о равновесии при наличии дополнительных условий.

Часто встречаются задачи о нахождении равновесия системы, на которую наложены одно или несколько дополнительных условий. В соответствии с общим методом, обсуждавшимся в гл. II, п. 5 и 12, в подобных задачах к бесконечно малой виртуальной работе следует прибавить вариации дополнительных условий, умноженные на неопределенные множители Лагранжа Я, и лишь затем полученную суммуприравнять нулю. Для иллюстрации этого общего метода мы рассмотрим здесь две задачи статики. В одной требуется минимизировать обычную функцию, а в другой — определенный интеграл.

1. Задача о соединенных стержнях. Рассмотрим систему однородных твердых стержней постоянного сечения, шарнирно соединенных друг с другом. Два свободных конца цепи подвешены. Найти положение равновесия системы.

В этой задаче приложенной силой является сила тяжести, имеющая потенциал. Запишем для нашей системы потенциальную энергию V, минимум которой нужно найти. Направим ось горизонтально, а ось — вертикально вниз и обозначим через прямоугольные координаты концов стержней, а через длину стержня

Для потенциальной энергии получаем следующее выражение:

где а — масса единицы длины. Требуется найти минимум функции V, рассматривая (3.4.1) с заданными константами как дополнительных условий.

В соответствии с общим методом Лагранжа составим видоизмененную потенциальную энергию вида

(несущественный постоянный множитель опущен). Требуется найти минимум этой новой функции. Варьируемыми величинами задачи являются в то время как и фиксированы как координаты двух точек подвеса. Варьирование по дает

откуда следует, что

Варьирование по дает

Подставив вместо их выражения из (3.4.5), получим решение нашей задачи о равновесии в виде следующего разностного уравнения

2. Задача об однородной цепи (цепная линия). Если увеличивать число стержней, одновременно уменьшая их длину, то (независимо от того, равны длины стержней между собой или нет) цепь по форме будет приближаться к гладкой, непрерывной и дифференцируемой кривой. В предельном случае мы получим задачу об однородной цепи. Легко видеть, что разностное уравнение (3.4.7) в пределе перейдет в дифференциальное уравнение

где через обозначен дифференциал дуги кривой. Зададим кривую уравнением вида тогда уравнение (3.4.8) запишется в форме

где Это уравнение можно проинтегрировать, и мы получим хорошо известное уравнение цепной линии

Вместо того чтобы использовать предельный переход, решим задачу прямыми методами вариационного исчисления. Предположим, что искомая кривая задана в параметрической форме

Определенный интеграл, который нужно минимизировать, имеет вид

Что касается дополнительных условий, то можно действовать двумя способами. Если исходить из предыдущей задачи, то следует в процессе варьирования сохранять постоянной длину любого, сколь угодно малого участка цепи. Это даст дополнительное условие

если за параметр мы примем длину дуги искомой кривой. В этом случае метод Лагранжа требует нахождения минимума видоизмененного интеграла

Ввиду того что наша цепь абсолютно гибкая, мы можем производить варьирование другим способом. Мы можем допустить любые вариации кривой (3.4.11), которые не меняют ее полной длины. Это означает, что следует минимизировать интеграл (3.4.12) с дополнительным условием

Эта задача изопериметрического типа (см. гл. II, п. 14). Видоизмененный интеграл имеет вид

Отметим существенную разницу между указанными двумя способами решения задачи. В первом случае, когда используется дополнительное условие локального типа, коэффициент X является функцией во втором, — когда дополнительное условие, определенный интеграл, взятый по всей области, — А будет константой.

Задача 1. Применить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа к интегралу (3.4.14). Первое уравнение (связанное с переменной непосредственно интегрируется. Выразив из него X

и подставив ее во второе дифференциальное уравнение, можно прийти к уравнению (3.4.8). Проверить, что оказывается функцией

Задача 2. Применить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа к интегралу (3.4.16). Если отождествить с , то дифференциальное уравнение для можно непосредственно проинтегрировать. Показать, что результат в обеих задачах совпадает. Во второй задаче константа и совершенно отличается от из первой задачи.