5. Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби.

В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике.

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби.

Остановимся сначала на задаче о консервативной механической системе. Это в действительности общий случай, так как путем добавления времени к числу позиционных переменных и введения в пространство конфигураций дополнительной оси а также замены слов «независящая от времени словами «независящая от параметра любая механическая система может быть сделана консервативной. Соединим точки траекторией, которая приводит к стационарному значению интеграл

при том дополнительном условии, что эта траектория лежит на изоэнергетической поверхности

Представив затем значение интеграла А, взятого для стационарной траектории, в виде функции координат получим главную функцию Гамильтона

Гамильтон показал, что эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных

До сих пор аналогия -функцией Якоби, удовлетворяющей тому же самому дифференциальному уравнению, кажется совершенно полной. Обе функции зависят от переменных и каждая из них может рассматриваться как производящая функция некоторого канонического преобразования. После интегрирования уравнения (8.5.4) обе функции будут содержать констант интегрирования.

Тем не менее для того, чтобы обнаружить существенное различие между этими двумя функциями, не нужно даже прибегать к помощи второго уравнения в частных производных. В теории Якоби энергетическая постоянная была одной из новых переменных Кроме энергетической постоянной в решении содержалось лишь констант интегрирования. В теории Гамильтона все переменные находятся в равном положении и энергетическая постоянная играет роль заданной константы, а не переменной. Гамильтоново решение уравнения в частных производных является не полным, а «сверхполным», так как оно содержит на одну константу больше, чем полное решение. Однородность по всем переменным является характерным свойством, отличающим гамильтонову -функцию от -функции Якоби. Эта однородность приводит к тому, что преобразование, определяемое функцией в корне отличается от -преоб-разования.

При помощи -функции Якоби производится преобразование изоэнергетических поверхностей в плоскости Смысл уравнения в частных производных заключается здесь в том, что в одну из новых переменных преобразуется функция Гамильтона. В гамильтоновом случае ситуация совершенно иная. Построение Гамильтона вовсе не преобразует изоэнергетические поверхности в плоскости; оно целиком развертывается на изоэнергетической поверхности не выходя за ее пределы. В случае Якоби мы имеем регулярное преобразование, разрешимое как относительно так и относительно Здесь нет тождества, которому бы удовлетворяли координаты, так как уравнение в частных производных устанавливает некоторое соотношение не между одними а между

В гамильтоновом случае преобразование не может быть регулярным, так как пространство отображается на поверхность. Уравнения

неразрешимы относительно потому что каноническое преобразование, переводящее существует лишь в том случае, если точка фазового пространства выбрана на поверхности Это показывает, что функциональный детерминант для уравнений (8.5.5), составленный относительно должен быть равен нулю. Отсюда получается следующее детерминантное условие для функции

Это характерное свойство -функций не имеет аналога в теории Якоби. Уравнение Гамильтона в частных производных приводит к некоторому тождеству, связывающему которое заставляет точку оставаться на определенной поверхности в фазовом пространстве.

Проиллюстрируем это положение на примере линейного преобразования, отображающего само на себя обычное трехмерное пространство. Пусть, например, координаты х, у, z принадлежат пространству I, а координаты пространству II. При отличном от нуля детерминанте мы имеем обычное взаимно однозначное преобразование. Однако предположим, что детерминант преобразования обращается в нуль. Тогда координаты являющиеся линейными функциями удовлетворяют тождеству вида

означающему, что все точки принадлежат одной плоскости. Повернем оси координат так, чтобы уравнение этой плоскости превратилось в Тогда наше вырожденное (сингулярное) преобразование примет вид

В результате преобразования (8.5.8) пространство II отобразилось на плоскость пространства Следовательно, это преобразование не может давать взаимно однозначного соответствия. При переходе от пространства II к пространству I соответствие однозначно; однако при обратном переходе происходит преобразование точки в линию. (На рис. 17 точка лежащая в основании прямой преобразуется в целую прямую.)

Рис. 17.

Преобразование линии в точку характерно для вырожденного преобразования. Теперь понятно, почему преобразование, порождаемое главной функцией, должно быть вырожденным. Ведь каким-то образом должно войти движение, т. е. преобразование точки во все последующие положения , а это как раз и означает преобразование точки в линию.

В теории Якоби преобразование точки в линию возникает совершенно иным путем. Здесь переменная выделена среди других переменных. Все координаты точки фиксированы, за исключением координаты которая меняется. Следовательно, требуется разрешить уравнений

относительно получив уравнений с переменными т. е. аналитическое выражение линии. В гамильтоновом же случае все включая и являются константами, а преобразование точки в линию возникает из-за вырожденности преобразования.

Рис. 18.

Переходя к дальнейшему, укажем, что вырожденности преобразования в одном направлении недостаточно. Поскольку движение происходит по поверхности отображение точек этой поверхности во все окружающее пространство в данном случае невозможно. Такое преобразование не имело бы ничего общего с задачей движения. Поэтому в нашем примере следует предположить, что угол наклона параллельных прямых к плоскости становится все меньше и меньше, пока они окончательно не ложатся на плоскость Теперь преобразование вырождено в обоих направлениях. И пространство I и пространство II отображаются на плоскость Преобразование точки в линию возникает теперь совершенно симметрично: и при переходе от пространства I к пространству II и при обратном переходе.

Такова картина преобразования, порождаемого главной функцией Гамильтона. Поверхность преобразуется

сама в себя, так как точки преобразуются в линии, лежащие на этой же поверхности. Таким образом, не только точка но и точка лежит на поверхности это есть в точности то утверждение, которое содержится во втором уравнении Гамильтона в частных производных. Подобно тому как уравнения (8.5.5) не могут быть разрешены относительно из-за обращения функционального детерминанта в нуль, так и уравнения

не могут быть разрешены относительно потому что и здесь функциональный детерминант обращается в нуль. Действительно, последний идентичен функциональному детерминанту (8.5.6) вследствие его симметрии относительно Таким образом, мы видим, что вырожденность преобразования в одном направлении приводит к вырожденности преобразования и в противоположном направлении. Одно уравнение в частных производных не может существовать без другого, причем общая связь между ними выражается детерминантным условием (8.5.6).

Перейдем теперь к общему случаю реономных систем. Ввиду того что этот переход уже встречался ранее, ограничимся здесь лишь кратким изложением. Добавим время к числу механических переменных и потребуем стационарности «обобщенного действия»

при том дополнительном условии, -точка расширенного фазового пространства остается на «обобщенной изоэнергетической поверхности»

Опять нужно вычислить интеграл (8.5.11), взятый между двумя точками расширенного пространства конфигураций, записав его в виде функции этих двух совокупностей координат

Задача 1. Показать, что это определение главной функции Гамильтона эквивалентно следующей схеме:

1. Получаем полное решение уравнений Лагранжа в форме

Вычисляем для этого решения определенный интеграл

получив А в виде функции констант интегрирования .

Вычисляем константы интегрирования, разрешая уравнений

относительно

. Подставляем эти выражения для Сконструированная таким образом функция является главной функцией Гамильтона

Задача 2. Рассмотреть задачу о движении в однородном гравитационном поле используя прямоугольную систему координат. Здесь уравнения Лагранжа интегрируются элементарными средствами. Пользуясь описанной выше схемой, вычислить гамильтонову -функцию, которая должна иметь вид

Далее при изучении реономного случая вновь выписываются уравнения преобразования

Дополнительное условие (8.5.12), записанное для обеих точек приводит к двум уравнениям в частных производных, которым удовлетворяет -функция [см. (7.9.20)].

Здесь опять функциональный детерминант преобразования обращается в нуль, что делает преобразование вырожденным. Нельзя выразить через и наоборот. Если, однако, выбирать и первую и вторую совокупности координат в соответствии с условием (8.5.12), то в обеих группах уравнений (8.5.14) можно опустить по одному последнему уравнению, потому что они в этом случае являются следствиями предыдущих уравнений. Оставшиеся уравнения

разрешимы относительно и преобразование получается в следующей форме:

Это дает исчерпывающее решение задачи о движении, удовлетворяющее произвольным начальным условиям. По сравнению с решением Якоби, число констант интегрирования не в соответствии со «сверхполнотой» -функции.

Резюме. В то время как преобразование Якоби переводит изоэнергетические поверхности в плоскости, а линии движения — в прямые, преобразование, порождаемое главной функцией Гамильтона, имеет совершенно другую природу. Оно осуществляется в пределах изоэнергетической поверхности и носит вырожденный характер. Движение здесь проявляется как следствие того, что преобразование переводит точку в линию, а это в свою очередь вызывается обращением в нуль функционального детерминанта.