14. Изопериметрические условия.
Дополнительные условия могут быть заданы не в виде алгебраического соотношения между 
а в форме определенного интеграла, равного некоторой заданной величине С
Дополнительные условия такого вида называются «изопериметрическими условиями», так как исторически они впервые встретились в задаче о нахождении максимальной площади фигуры, ограниченной кривой с данным периметром (задача Дидоны).
Вообще говоря, может быть произвольное число дополнительных условий вида (2.14.1), но мы ограничимся изучением случая, когда имеется лишь одно такое условие; обобщение на случай 
условий очевидно.
Условие (2.14.1) должно выполняться не только для тех функций 
которые приводят, к стационарности интеграла (2.11.1), но и для варьированных функций 
поэтому можно проварьировать (2.14.1), что приводит к следующему интегральному соотношению между 
Поэтому наша задача заключается в том, чтобы удовлетворить уравнению
при дополнительном условии (2.14.2). Как и раньше, можно умножить левую часть уравнения (2.14.2) на некоторый неопределенный множитель К и прибавить к 
. В результате получим
Заменим теперь 
на 
, а определенный интеграл суммой, и устремим сумму к интегралу, делая 
все меньшим и меньшим. При этом к можно все время выбирать таким образом, чтобы в результате интеграл (2.14.4)
обращался в нуль при произвольных вариациях 
Так как это выполняется независимо от интервалов 
то будет выполнено и после перехода к пределу. Следовательно, при соответствующем выборе 
получим при произвольных вариациях 
Это означает, что мы снова сумели перевести вариационную задачу с условиями в свободную вариационную задачу, заменив первоначальную функцию 
на
где X — неизвестная константа.
Из сказанного можно сделать те же выводы, что и в п. 12. Мы снова пришли к уравнениям типа (2.12.5) с той лишь разницей, что — константы, а не функции 
Эти константы можно определить путем удовлетворения заданным интегральным условиям.
Этот же метод неопределенных множителей применим и тогда, когда изопериметрическое условие (2.14.1) зависит не только от но и от производных по времени 
Подобная задача — задача о гибкой цепи — рассматривается в в гл. III, п. 4.
Резюме. Метод множителей Лагранжа можно обобщить на случай дополнительных условий, заданных в виде некоторого определенного интеграла, значение которого не должно меняться при варьировании. Результирующие уравнения имеют тот же вид, что и при алгебраических дополнительных условиях. Единственное различие состоит в том, что в этом случае коэффициенты К — не функции времени, а константы.
