6. Голономные и неголономные механические системы.

Кинематические связи не всегда имеют вид соотношений между координатами частиц. Случается, что имеют место условия более общей природы, которые можно записать лишь в дифференциальной форме. Характерным примером является шар, катящийся по столу. Шар, свободно перемещающийся в пространстве, имеет шесть степеней свободы. Если же он движется по плоскости, то высота центра тяжести остается постоянной, что уменьшает число степеней свободы до пяти. Мы можем описать положение шара двумя прямоугольными координатами х и у точки контакта шара с плоскостью и тремя углами а, которые фиксируют положение шара относительно системы неподвижных осей. Если шар может двигаться с проскальзыванием, то он действительно имеет все пять степенен свободы. Однако если он вынужден катиться без скольжения, то мгновенная скорость

в точке касания должна равняться нулю и мгновенная ось вращения должна проходить через точку касания. Если мгновенная ось вращения все время находится в плоскости стола, то мы имеем «чистое качение», в противном случае — «качение» с «верчением». В случае чистого качения число степеней свободы уменьшается до двух. Если путь точки контакта определен заданием х и у как функций времени то положение шара этим самым однозначно определено в любой момент времени. Может показаться, что углы могут быть заданы как функции х и у. Это, однако, невозможно. Дифференциалы выражаются через дифференциалы , но эти соотношения неинтегрируемы. Их нельзя заменить эквивалентными конечными соотношениями между координатами. Действительно, представим себе, что качение шара начинается с какого-то определенного положения и заканчивается при некотором фиксированном значении х и у. Если шар двигался двумя различными путями, то и конечные положения его окажутся повернутыми относительно друг друга; а если бы уможно было задать в виде функций х и у, то конечные положения шара в обоих случаях совпадали бы.

Подобные кинематические связи, которые могут быть заданы только в виде соотношений между дифференциалами координат, были названы Герцем «неголономными», в отличие от обычных «голономных» связей. Кинематическая связь вида

является голономной, хотя из (1.6.1) и следует при помощи дифференцирования, что

Если же мы начнем с дифференциального соотношения вида

заданные функции величин то его можно перевести в соотношение (1.6.1) лишь при выполнении определенных условий интегрируемости. Единственным исключением является случай потому что дифференциальные соотношения между двумя переменными всегда интегрируемы.

При помощи одних дифференцирований и исключений переменных всегда можно определить, является ли данная совокупность дифференциальных условий голономной или нет. Покажем, как это делается, на простейшем примере одного соотношения между тремя переменными; обобщение на случай большего количества уравнений и переменных следует автоматически. Сначала запишем заданное условие в виде:

Если эта связь допускает конечное соотношение между то должно иметь место равенство

или, точнее, поскольку могут зависеть неявно от

Величины известны из (1.6.4); поэтому

Это равенство должно выполняться при любых и т. е. оно должно быть тождеством. Если это имеет место, то выражение (1.6.4) интегрируемо, в противном случае — нет. Может случиться, однако, что не выпадает из результирующего уравнения (1.6.7), а выражается через Тогда следует проверить, будут ли частные производные от по равны как это должно быть согласно (1.6.4). Если будут, то мы тем самым доказали, что данная связь голономна, и заменили ее дифференциальное выражение конечным. В случае более чем двух независимых переменных все условия интегрируемости

должны быть исследованы подобным же образом. Если задана целая система независимых дифференциальных соотношений, то следует сначала их разрешить относительно некоторых зависимых дифференциалов, а затем аналогично предыдущему проверить условия интегрируемости.

Задача. Исследовать интегрируемость следующего дифференциального соотношения

(Это условие голономно и может быть заменено конечным соотношением

Голономные кинематические связи можно использовать двумя путями. Во-первых, при наличии уравнений с переменными можно исключить часть переменных и свести задачу к независимым переменным. Во-вторых, можно оперировать с полным числом переменных, сохраняя заданные соотношения в качестве дополнительных условий.

Неголономные связи допускают лишь второй способ решения. Уменьшение числа переменных здесь невозможно и приходится оперировать с большим количеством переменных, чем того требует число степеней свободы системы. Пространство конфигураций в этом случае является частью пространства большего числа измерений, но не образует в нем определенного подпространства, потому что кинематические условия в каждой точке порождают пучок направлений, но эти пучки не имеют огибающей поверхности.

С точки зрения вариационных принципов механики голономные и неголономные связи различаются очень сильно. Хотя уравнения механики и могут быть написаны в случае неголономных связей, но эти уравнения нельзя получить из общего принципа, приравнивая нулю вариацию от определенной величины (гл. II, п. 13).

Резюме. Кинематические условия не всегда имеют вид конечных соотношений между координатами, иначе говоря, не всегда являются «голономными». Может случиться, что связи представимы лишь в виде соотношений между дифференциалами от координат. Такие связи называют «неголономными». Подобные связи возникают, например, при качении твердого тела без скольжения по некоторой поверхности.