12. Гравитационное искривление световых лучей.

Распространение световых лучей тоже можно рассматривать как задачу динамики, так как их следует представлять себе в виде прямых линий, лежащих на нуль-конусе. Они являются, таким образом, геодезическими линиями нулевой длины. Ясно, что в формулировке принципа о геодезической линии функцию Лагранжа (9.10.3) можно умножить на константу При этом в правой части (9.10.4) вместо 1 будет стоять По мере уменьшения частицы будут все

сильнее приближаться к световому конусу и в пределе при будут двигаться непосредственно по световому конусу. В этом случае постоянная функция Гамильтона обращается в нуль.

Для того чтобы применить наши предыдущие рассуждения к случаю нулевых геодезических линий, тождество следует заменить на На формуле (9.11.10) это скажется лишь в том, что из знаменателя исчезнет постоянная . В результате получим

Пренебрежем сначала членами с а. Тогда интегрирование даст

или

что означает

Получилось уравнение прямой линии в полярных координатах, где В — величина, обратная наименьшему расстоянию на котором луч света проходит мимо Солнца,

Если теперь знаменатель выражения (9.12.1) разложить в ряд по степеням то члены второго порядка окажутся пренебрежимо малыми, так что достаточно проинтегрировать простое выражение

Положим теперь

В новых переменных, пренебрегая членами второго порядка по а, получаем

пткуда

Устремим теперь к пределу Тогда обратится в нуль и, следовательно,

Нам нужно найти угол, косинус которого немного меньше нуля, а потому угол несколько больше . С достаточной точностью имеем

Отклонение направлено в сторону Солнца и соответствует движению по очень крутой гиперболе. Угол отклонения равен

Это соответствует отклонению светового луча под действием силы тяжести в элементарной ньютоновой схеме. Отклонение светового луча было предсказано Эйнштейном на основе «принципа эквивалентности». Этот принцип, бывший руководящей идеей ранних работ Эйнштейна, помог ему осознать, что линейный элемент Минковского не может сохраниться при наличии гравитации. Как видно из наших выкладок, отклонение порождается членом линейного элемента, содержащим компонентой.

Из второго члена в правой части (9.12.7) видно, что компонента вызывает добавочное отклонение луча, величина которого тоже равна Поэтому результирующее отклонение оказывается вдвое больше полученного раньше

Таким образом, временная часть линейного элемента и часть, обусловленная неевклндовостью пространства, вносят одинаковый вклад в величину отклонения луча света, проходящего вблизи солнечного диска. Полное отклонение видимого положения звезды вдвое больше полученной величины, так как отклонение осуществляется симметричным образом по обе стороны от Солнца. Полное отклонение луча

Для светового луча, проходящего мимо солнечного диска,

Астрономические наблюдения, производимые при более пли менее благоприятных условиях во время довольно редко бывающих полных солнечных затмений, ясно показывают существование отклонения световых лучен на приблизительно правильную величину. Согласие теории с экспериментом не хуже, чем можно было бы в этих условиях ожидать.