5. Кинетическая энергия и риманова геометрия.

Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая — риманова; эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие.

Сделанное Декартом открытие, что геометрия допускает аналитическую трактовку, явилось существенной вехой в истории развития этой науки. Однако геометрия Декарта предполагала евклидову структуру пространства. Для введения прямоугольной системы координат необходимо принять постулаты конгруентности и постулат о параллельных прямых.

Второй вехой в развитии геометрии явилась геометрия Римана, которая выросла из замечательных работ Гаусса, касающихся геометрии поверхностей. В основе геометрии Римана лежит одна-единственная дифференциальная

величина, называющаяся «линейный элемент» . Эта величина означает расстояние между двумя соседними точками пространства, выраженное через координаты и их дифференциалы. Рассмотрим для примера бесконечно малое расстояние между двумя точками с координатами Согласно теореме Пифагора,

Это выражение есть следствие постулатов Евклида и определения координат

Предположим теперь, что мы ничего не знаем ни о каких постулатах, и примем (1.5.1) без доказательства как определение линейного элемента. Зная, кроме того, что переменные изменяются в пределах от до мы можем отсюда вывести все положения евклидовой геометрии, включая и интерпретацию как прямоугольных координат. Аналогично, если квадрат линейного элемента задать в виде

где меняется от 0 до , то геометрия, определяемая этим линейным элементом, будет снова евклидова, но три переменные будут уже иметь смысл сферических координат, ранее обозначавшихся через Все это содержится в одном дифференциальном выражении (1.5.2), дополненном граничными условиями.

В общем случае, если обозначить через (вместо х, у, z) произвольные «криволинейные» координаты с координатными

линиями, уже не прямыми, как в декартовой схеме, а в виде произвольных кривых, то квадрат линейного элемента запишется в следующем общем виде:

Выражение такого рода называется «квадратичной дифференциальной формой» переменных «Коэффициенты» этой суммы не постоянные величины, а функции трех переменных . Сумма (1.5.3) может быть записана в более компактной форме:

Так как члены можно собрать в один член, то число независимых членов квадратичной формы не 9, а 6. Чтобы форма сохранила симметричный вид, можно вместо уменьшения числа членов в ней наложить на коэффициенты следующее условие:

В абсолютном исчислении (тензорном), которое систематически развивает коварианты и инварианты римановой геометрии, величины образуют «тензор». Величина имеет абсолютное значение, потому что расстояние между двумя точками не зависит от системы координат. Она является «абсолютной», «инвариантной» величиной, не зависящей от системы отсчета. Тензор определяется компонентами инвариантной дифференциальной формы. Например, инвариантная дифференциальная форма первого порядка

определяет вектор. Величины называют «компонентами» вектора. Они зависят от системы отсчета и являются поэтому «ковариантными» величинами. Дифференциальная форма в целом, однако, инвариантна. Мы имеем здесь абстрактное, чисто аналитическое определение вектора,

которое полностью обходится без традиционной картинки «стрелы». Дифференциальная форма второго порядка определяет тензор второго ранга и т. д.

Тензор лежащий в основе геометрии, называется «метрическим тензором». Он позволяет строить геометрию пространства не только трех, но и любого числа измерений. Геометрия -мерного пространства определится, если ввести линейный элемент в виде

с дополнительным условием

которое делает метрический тензор симметричным. Эйнштейн и Минковский показали, что геометрия реальной природы включает пространство и время, образуя таким образом четырехмерный мир с переменными

Величины в общем случае не являются постоянными, а представляют собой функции переменных Они оказываются константами только в случае прямоугольных и в более общем случае косоугольных координат. Для криволинейных координат значения меняются от точки к точке. Они зависят от двух индексов и образуют двумерное многообразие, в то время как компоненты вектора, например, образуют одномерное многообразие.

Аналитическое построение геометрии, не зависящее от какой-либо специальной системы отсчета, является лишь одним из достоинств римановой геометрии. Более фундаментальным открытием Римана является то, что определение (1.5.7) линейного элемента образует не только новый, но и гораздо более общий базис для построения геометрии, чем старый базис евклидовых постулатов. Только в том случае, когда принадлежат к некоторому определенному классу функций, получается геометрия евклидова типа. В общем же случае возникает новый тип геометрии, характеризуемый следующими двумя фундаментальными свойствами:

1. Свойства пространства меняются от точки к точке, но только непрерывным образом.

2. Для бесконечно малых областей справедлива евклидова геометрия, хотя она не справедлива для больших областей.

Риман показал, как при помощи дифференцирования можно получить характеристическую величину — «тензор кривизны», определяющий вид геометрии. Если все компоненты тензора кривизны равны нулю, то геометрия евклидова, в противном случае — неевклидова.

Когда специальная теория относительности Эйнштейна и Минковского, объединив время и пространство, показала, что геометрия природы имеет скорее четыре, а не три измерения, то это была еще геометрия евклидова типа. Лишь общая теория относительности Эйнштейна продемонстрировала, что линейный элемент с постоянными коэффициентами должен быть заменен римановым линейным элементом, содержащим десять функций четырех координат

Таинственная сила всемирного тяготения была интерпретирована как чисто геометрическое явление — следствие римановой структуры пространственно-временного континуума.

Абстрактные построения римановой геометрии были использованы не только в теории относительности, но и в аналитической механике. Понятие римановой геометрии и методы тензорного исчисления оказались естественным орудием при операциях по преобразованию координат, встречающихся при аналитической трактовке задач динамики.

Геометрия входит в царство механики в связи с инертными свойствами массы. Эти свойства отражены в левой части уравнения Ньютона в форме «массы, умноженной на ускорение» или «скорости изменения импульса». Аналитическая механика показала, что в действительности фундаментальной величиной, характеризующей инерцию массы, является не импульс, а кинетическая энергия. Кинетическая энергия — это скалярная величина, определенная как для одной частицы и как

для системы частиц; здесь скорость частицы, определяемая выражением

Таким образом, кинетическая энергия частицы явно связана с линейным элементом и поэтому зависит от геометрии пространства.

Определим теперь линейный элемент -мерного пространства уравнением

После этого кинетическая энергия может быть записана в виде

где

Это означает, что вместо кинетической энергии всей системы можно рассматривать кинетическую энергию одной частицы с массой 1. Эта воображаемая частица является точкой -мерного пространства конфигураций, символизирующей состояние механической системы. Вся система в целом изображается в этом пространстве в виде одной точки. Поэтому мы сможем применить к любой механической системе механику свободной частицы, поместив эту частицу в пространство с соответствующим числом измерений и соответствующей геометрией.

Форма записи линейного элемента (1.5.11) показывает, что -мерное пространство конфигураций свободных частиц имеет евклидову структуру, а величины

следует считать прямоугольными координатами этого пространства. При замене прямоугольных координат (1.5.14) произвольными криволинейными координатами в соответствии с уравнениями (1.2.4) геометрия остается евклидовой, хотя линейный элемент и задается уже в более общей римановой форме

Рассмотрим теперь механическую систему, на координаты которой наложены данные кинематические условия. Можно поступить двумя способами. Во-первых, можно использовать прежнее пространство конфигураций измерений, ограничив возможности свободного перемещения С-точки имеющимися кинематическими условиями, записанными в виде

Геометрически каждое из этих уравнений представляет собой гиперповерхность в пространстве измерений. С-точка должна находиться в области пересечения всех этих гиперповерхностей, т. е. в подпространстве с числом измерений, равным Это подпространство является уже не плоским евклидовым, а искривленным римановым пространством.

Второй способ решения той же самой задачи заключается в том, что мы с самого начала выражаем прямоугольные координаты частиц через параметров подобно тому как это сделано в (1.2.8). Эти параметры являются теперь криволинейными координатами -мерного пространства. Чтобы построить линейный элемент получившегося пространства, нужно взять дифференциалы от обеих частей каждого из уравнений (1.2.8) и подставить их в выражение (1.5.11). В результате получим линейный элемент вида

где известные функции от Линейный элемент (1.5.16) уже является существенно римановым не только потому, что криволинейные координаты, но и потому, что геометрия пространства конфигураций сохранила евклидову структуру первоначального -мерного пространства только в бесконечно малых областях. Например, движение идеально сбалансированного волчка (т. е. волчка, вращающегося вокруг своего центра тяжести) можно рассматривать как перемещение С-точки в некотором римановом пространстве

трех измерений, происходящее по кратчайшему пути. Аналогично, изучение движения двухатомной молекулы сводится к задаче о нахождении кратчайшего пути в соответствующем пятимерном римановом пространстве и т. д. Механическая задача сводится к задаче дифференциальной геометрии.

Отметим, что при первом способе рассуждении -мерное пространство конфигураций рассматривается как часть -мерного евклидова пространства. При втором же способе пространство конфигураций рассматривается само по себе, а не как часть пространства большего числа измерений.

Резюме. Возможность введения произвольных координатных систем и инвариантность уравнений механики относительно преобразований координат тесно связывают аналитическую механику с идеями и методами римановой геометрии. Движение произвольной механической системы может рассматриваться как движение свободной частицы в соответствующем -мерном пространстве с определенной римановой структурой. Кинетическая энергия системы определяет риманов линейный элемент пространства конфигураций.