8. Принцип наименьшего принуждения Гаусса.

Принцип Даламбера не связан с понятием минимальности. В нем фигурирует бесконечно малая величина — виртуальная работа приложенных сил, к которой прибавлена виртуальная работа сил инерции, причем последняя величина не есть вариация какой-либо функции. Гаусс (1777—1855) предложил замечательную интерпретацию принципа Даламбера, вводящую в этот принцип понятие минимальности. Идею Гаусса можно изложить следующим образом.

Дифференциальные уравнения движения определяют ускорения Предположим, что мы встретились с такой задачей: в некоторый момент времени заданы положения и скорости всех частиц механической системы; ускорениями же мы можем распоряжаться по своему усмотрению, не нарушая, однако, заданных связей. Замена действительного ускорения частицы в момент времени величиной приводит к следующему. Положение частицы в момент времени определяется рядом Тэйлора

Вариация ускорения приведет к изменению пути частицы. Вследствие того, что мы договорились не менять начальных значений координат и скоростей системы, вариации первых двух членов в правой части (4.8.1) равны нулю. Следовательно, считая достаточно малым и пренебрегая членами высшего порядка по получаем

Это рассуждение совершенно не зависит от каких бы то ни было связей; связи учитываются лишь при выборе вариаций

Далее, согласно принципу Даламбера,

где в качестве можно взять любое виртуальное перемещение, совместимое со связями. Применим этот принцип в момент времени выбрав в соответствии с (4.8.2). В результате получим

Поскольку приложенные силы заданы и не могут варьироваться, условие (4.8.4) можно переписать следующим образом:

откуда

Гаусс ввел величину

назвав ее «мерой принуждения» движения, и сформулировал содержание уравнения (4.8.6) в виде «принципа наименьшего принуждения»: движение, осуществляющееся в действительности, таково, что величина принимает наименьшее возможное значение из всех значений, совместимых с данными кинематическими связями. Если частицы свободны от связей, то достигает своего абсолютного минимума, равного нулю. Мы получим тогда

т. е. закон движения Ньютона. Если связи ограничивают свободу выбора то мы можем тем не менее минимизировать при данных дополнительных условиях. Решение вариационной задачи определит нам движение системы, реализующееся в действительности.

Пример. Частица, вынужденная оставаться на поверхности

находится под действием силы Найти уравнения движения.

Из уравнения связи (4.8.9) имеем

Требуется минимизировать величину

где задана уравнением (4.8.10). Независимыми переменными являются х и у. Окончательно получаем

Это и есть искомые уравнения движения.

Гаусс высоко ценил сформулированный им принцип, потому что этот принцип представляет собой полную физическую аналогию «методу наименьших квадратов» теории ошибок (открытому самим Гауссом и независимо Лежандром). Пусть задано некоторое функциональное соотношение, содержащее ряд параметров, которые должны быть определены экспериментально. Если число наблюдений равно числу неизвестных параметров, то вычисления производятся непосредственно. Однако при числе наблюдений, превышающем число параметров, уравнения становятся противоречивыми вследствие наличия ошибок наблюдений.

Под «ошибкой» понимается разность между предполагаемым значением функции и значением, наблюдаемым на опыте. В этом случае составляется сумма квадратов всех отдельных ошибок и параметры задачи определяются из того условия, чтобы эта сумма была минимальной.

Принцип нахождения минимума величины полностью аналогичен только что сделанному наброску. членам суммы (4.8.7) соответствует наблюдений. Это число превышает количество неизвестных вследствие наличия кинематических связей. «Ошибка» заменена разностью между приложенной силой и силой инерции — «массой, умноженной на ускорение». Даже множитель в выражении для может быть интерпретирован как «весовой коэффициент», по аналогии со случаем наблюдения нескольких различных величин, которые входят в уравнения с весами, соответствующими надежности полученных значений.

Хотя условие (4.8.6) требует лишь стационарности можно легко доказать, что в данном случае стационарность всегда, без каких-либо дополнительных условий, означает наличие минимума. Это следует из того факта, что функция будучи суммой существенно положительных членов, должна иметь где-то минимум. Следовательно, если условие стационарности имеет единственное решение, то это решение должно давать минимум величины Единственность решения показывается следующим образом. В приведенном выше примере получилась в виде линейной функции х и у. В общем случае, независимо от конкретного характера заданных кинематических условий, их двукратное дифференцирование всегда приводит к линейным соотношениям между ускорениями. После исключения при помощи этих условий лишних ускорений результирующее выражение для останется квадратичной формой от остальных ускорений, которые уже варьируются свободно. Следовательно, мы приходим к системе линейных уравнений, которая имеет единственное решение.

Гауссов принцип наименьшего принуждения является, таким образом, истинно минимальным принципом, подобно принципу наименьшего действия; притом гауссов принцип проще, так как он не требует интегрирования по времени. Это преимущество, однако, далеко не искупает того

недостатка, что в принцип Гаусса входят ускорения, в то время как в принцип наименьшего действия — одни лишь скорости. Вследствие этого принцип Гаусса имеет меньшее значение. С другой стороны, он с одинаковым успехом может использоваться как при голономных связях, так и при неголономных, не теряя свойства минимальности; забегая вперед, укажем, что принцип наименьшего действия не может быть сформулирован в виде минимального принципа при неголономных связях или непотенциальных силах.

Герц 1 предложил замечательную геометрическую интерпретацию принципа Гаусса в частном случае, когда приложенные силы равны нулю. Он показал, что в этом случае мера принуждения может быть интерпретирована как «геодезическая кривизна» траектории С-точки, изображающей положение механической системы в -мерном евклидовом пространстве с прямоугольными координатами (см. гл. I, пп. 4 и 5). Из-за наличия связей наша точка должна оставаться внутри определенного подпространства этого З-мерного пространства. Утверждение, что принимает минимальное значение, можно теперь сформулировать следующим образом: С-точка при движении стремится уменьшить кривизну своей траектории в каждой ее точке до минимального значения, допускаемого связями. Это означает, что траектория С-точки стремится стать возможно более прямой. Интерпретация Герца с помощью «прямейшего пути» роднит принцип Гаусса с принципом Якоби, который достигает той же самой цели гораздо более непосредственно, путем минимизации длины дуги в пространстве конфигураций. Герцовы «пути наименьшей кривизны» могут быть интерпретированы как геодезические линии в искривленном пространстве конфигураций, которое погружено в евклидово -мерное пространство Герца (см. гл. I, п. 5).

Аппель предложил другую формулировку принципа

Гаусса, сделавшую его более удобным для вывода уравнений движения в случае неголономных связей и в случае, когда желательно использовать кинематические переменные, о которых говорилось в п. 2.

Резюме. При помощи вариаций особого вида Гауссу удалось преобразовать принцип Даламбера в подлинно минимальный принцип, в котором отыскивается минимум некоторой скалярной величины, названной Гауссом «мерой принуждения»; при этом ускорения рассматриваются как переменные вариационной задачи. Будучи принципом минимума, принцип наименьшего принуждения аналогичен принципу наименьшего действия. Он проще, чем этот последний, так как не требует вариационного исчисления, поскольку отыскивается не минимум определенного интеграла, а минимум обычной функции. Большим недостатком принципа наименьшего принуждения является то, что он требует вычисления ускорений. Это, вообще говоря, приводит к гораздо более громоздким и трудоемким вычислениям. В то же время в принципе наименьшего действия все выводится из скалярной функции, не содержащей производных выше первого порядка.