9. Геометризация динамики. Неримановы геометрии. Метрическая интерпретация уравнения в частных производных Гамильтона.

Снова и снова мы убеждаемся в том, сколь успешно наглядный язык геометрии помогает более глубокому пониманию проблем механики. Пространство конфигураций с его римановой метрикой дало возможность изобразить сколь угодно сложную механическую систему в виде одной точки в соответствующим образом определенном многомерном пространстве. Благодаря этому законы, определявшие движение одной частицы, удалось обобщить на произвольные механические системы.

Преимущества геометрического языка особенно заметны тогда, когда механическая система не подвержена действию внешних сил. В этом случае траектория механической системы может рассматриваться как геодезическая линия в пространстве конфигураций (принцип «прямейшего пути» Герца). Более того, при потенциальной энергии, не зависящей от времени можно ввести вспомогательный линейный элемент

где линейный элемент исходного пространства конфигураций. Тогда мы снова получим все механические траектории с одной и той же полной энергией в виде геодезических линий нового пространства.

Однако не все механические системы консервативны. Силовая функция внешних сил также не всегда зависит от

одних только координат. Например, в случае сил, действующих на электрон при наличии внешнего электромагнитного поля, силовая функция зависит от скоростей и может зависеть и от времени Следовательно, обычные условия независимости силовой функции от времени и скорости здесь не выполняются. Более того, при переходе от классической к релятивистской механике изменяется обычная форма кинетической энергии, определяющая риманову структуру линейного элемента.

Тесная связь между динамикой и геометрией сохраняется и при более общих предположениях. Риманова геометрия — не единственно возможная форма метрической геометрии. Для римановой геометрии характерным свойством является «выпрямление» пространства в окрестности произвольной точки, так что обычная евклидова геометрия остается справедливой по крайней мере в бесконечно малых областях. Но для построения геометрии, использующей прямые линии и углы, такого ограничения, вообще говоря, не требуется. В применении к общим задачам динамики заслуживает внимания более общая форма геометрии, линейный элемент которой определяется более общим способом по сравнению с римановым линейным элементом.

Для последующих рассуждений нужно лишить время того положения, которое оно занимает в обычных задачах механики. Добавим время к числу позиционных координат положив

и будем считать все равноправными. Индекс во всех случаях, когда это особо не оговаривается, будет теперь пробегать значения от 1 до Пространство конфигураций имеет, таким образом, не измерений. Введем линейный элемент этого пространства с помощью следующего определения:

Здесь произвольная функция переменных с тем лишь естественным ограничением, что она предполагается однородной дифференциальной формой первой

степени относительно дифференциалов Это означает, что

Рассмотрим произвольную кривую на этом многообразии, заданную в параметрической форме

Благодаря условию (8.9.4) линейный элемент этой кривой может быть записан в виде

Следовательно, задача о геодезической линии, т. е. задача о минимизации длины кривой, соединяющей две точки и та, приводит к вариационной задаче о минимизации определенного интеграла

Эта же самая задача может быть сформулирована в несколько иной форме, если выбрать в качестве параметра последнюю переменную Тогда уравнения геодезической линии примут вид

где функции находятся из минимизации интеграла

Мы сталкиваемся здесь с задачей, аналогичной стандартной задаче лагранжевой механики, а именно с определением движения механической системы с помощью минимизации зависящего от времени интеграла от функции Лагранжа Функция может быть, таким образом, интерпретирована с механической точки зрения как функция Лагранжа аналитической механики.

Наоборот, исходя из механической задачи с заданной функцией Лагранжа

можно определить линейный элемент -мерном пространстве, написав

Тогда задача о движении перейдет в задачу о нахождении геодезической линии на этом -мерном многообразии. Таким образом, мы видим, что задача решения уравнений динамики и задача нахождения геодезической линии на определенном — вообще говоря, неримановом — многообразии эквивалентны.

В этой геометрической интерпретации динамики особенно существенна «главная функция» Гамильтона. Поскольку «действие» теперь геометрически интерпретируется как «длина дуги», а «наименьшее действие» — как «наименьшая дуга», постольку -функция Гамильтона попросту определяет расстояние между двумя точками этого многообразия.

В свете этой интерпретации сразу видно, почему главная функция Гамильтона должна быть обусловлена каким-то дифференциальным уравнением. Трудно было бы ожидать, чтобы произвольной функции координат двух точек многообразия можно было бы приписать смысл «расстояния» между этими точками. Под «расстоянием» на самом деле подразумевается «наименьшее расстояние», а слово «наименьшее» не могло бы относиться к произвольному определению расстояния.

При изучении проблемы под геометрическим углом зрения естественно ожидать, что уравнению в частных производных Гамильтона может быть придан глубокий геометрический смысл. Для получения такой новой интерпретации начнем с преобразования вариационной задачи (8.9.7) к каноническому виду. Введем импульсы

и построим функцию Гамильтона Однако поскольку однородная функция первой степени относительно переменных получим

Мы знаем уже, что обращение в нуль функции Гамильтона всегда компенсируется наличием тождества, связывающего

Это тождество следует рассматривать как дополнительное условие вариационной задачи, в которой ищется стационарное значение интеграла

Задача 1. Показать, что в случае евклидова линейного элемента

импульсы являются «направляющими косинусами» некоторого направления. Тождество (8.9.14) в этом случае принимает форму

Следовательно, «импульсы» связанные с произвольным метризованным многообразием, являются «обобщенными направляющими косинусами» этого многообразия. Эти направляющие косинусы не являются взаимно независимыми — они связаны тождеством (8.9.14).

Рассмотрим теперь произвольную поверхность

на цашем многообразии и найдем нормаль к этой поверхности. Для этой цели опустим на поверхность перпендикуляр из произвольной точки вне поверхности. Тогда получим задачу о нахожденни расстояния от точки до поверхности. Другими словами, требуется минимизировать функцию при дополнительном условии (8.9.16). Решение этой задачи на минимум определяется уравнениями

С учетом основных свойств главной функции Гамильтона получим

Эти уравнения выражают направляющие косинусы нормали через градиент функции Множитель X имеет следующий смысл. Уравнение (8.9.13) можно написать в форме

или

откуда следует

Следовательно, величина равна производной по направлению нормали от функции т. е. равна наибольшей скорости изменения функции в данной точке. Уравнение нормали (8.9.18) принимает вид

Для того чтобы вычислить X, подставим выражения (8.9.18) для в тождество (8.9.14). В результате получим

Из этого условия может быть найден неопределенный множитель

Задача 2. Для риманова линейного элемента

получить наибольшую скорость изменения функции в виде

где элементы матрицы, обратной матрице

Заметим, что этот путь определения множителя X, а вместе с ним и наибольшей скорости изменения функции напоминает вывод уравнения в частных производных Гамильтона. Там мы заменили на и получили условие для функции Здесь же функция может быть произвольной функцией, а условие (8.9.23) служит для получения наибольшей скорости изменения Уравнение в частных производных Гамильтона эквивалентно условию

что означает

Это свойство главной функции имеет наглядный геометрический смысл. Поверхности являются по определению концентрическими сферами с общим центром в точке Радиус-вектор везде перпендикулярен поверхности сферы. Следовательно, направление радиуса-вектора совпадает с направлением нормали и вследствие определения как длины радиуса-вектора имеем

Заметим, что перпендикулярность радиуса-вектора к поверхности сферы не является характерным свойством

только евклидовой геометрии. Это инвариантное свойство присуще метрической геометрии любого вида.

Условие (8.9.26) эквивалентно уравнению в частных производных Гамильтона

Этого дифференциального уравнения достаточно для определения главной функции Гамильтона если только добавить соответствующие граничные условия. Граничные условия следуют из определения как расстояния между двумя точками принадлежащими нашему многообразию. Предположим, что расстояние между этими двумя точками сколь угодно мало, т. е. что

Расстояние между двумя соседними точками является попросту. линейным элементом заданным в форме (8.9.3). Поэтому имеем условие

Дифференциальное уравнение (8.9.27) вместе с граничным условием (8.9.29) однозначно определяет главную функцию Гамильтона.

Граничное условие (8.9.29) позволяет получить явное выражение для функции расстояния в виде

при условии, что точка находится достаточно близко к точке Полное интегрирование становится возможным в частном случае, когда зависит только от и не зависит от самих

Задача о геодезической линии становится тогда полностью интегрируемой, потому что все оказываются циклическими переменными. В результате получим

откуда расстояние между любыми двумя точками многообразия получает простой подстановкой без какого бы то ни было интегрирования. В этой геометрии пространство однородно, т. е. свойства пространства вблизи всех точек одинаковы. В то же время пространство неизотропно, т.е. свойства пространства зависят От направления. Фигуры в этом пространстве могут подвергаться параллельному переносу, но их, вообще говоря, нельзя поворачивать.

Задача 3. Получить выражение для расстояния между двумя точками евклидова пространства из линейного элемента на основе принципа (8.9.32).

Задача 4. Получить таким же способом главную функцию для свободной частицы массы движущейся в отсутствие внешних сил. Показать, что результат совпадает с выражением, полученным в задаче 2, п. 5, если положить там .

Задача 5. Показать, что детерминантное условие (8.5.6) удовлетворяет. этой геометрии.

В п. 7 мы рассматривали замечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями. Мы построили волновые поверхности показали, что ортогональные траектории к этим волновым поверхностям являются траекториями соответственно механических систем и оптических лучей. Наши рассуждения ограничивались случаем одной частицы, находящейся, под действием консервативной внешней силы, независящей от скорости частицы. Отбросим теперь это ограничение и покажем, что наши результаты остаются справедливыми для любых механичеких систем при условии, что каждой системе ставится в соответствие ее собственная естественная геометрия.

Основное дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция может быть сформулировано геометрически благодаря (8.9.24) и (8.9.25) следующим образом:

Это уравнение имеет ясный геометрический смысл. Все точки поверхности находятся на одном и том же расстоянии от базисной поверхности Следовательно, уравнение определяет семейство параллельных поверхностей. Волновые поверхности, которые раньше были «поверхностями равного действия», теперь превращаются в «поверхности равного расстояния», т. е. в параллельные поверхности.

Теперь можно еще раз установить ортогональность механических (или оптических) траекторий по отношению к волновым

поверхностям . В п. 7 этой главы мы получили механические траектории из волновых поверхностей путем решения первой группы уравнений преобразования

Воспользовавшись (8.9.33), запишем эти уравнения в форме

Отсюда видно, что мы имеем дело с уравнениями нормалей к поверхностям Таким образом, мы снова получили результат, согласно которому траектории механических систем являются ортогональными траекториями к волновым поверхностям.

Эта теорема стала теперь гораздо более общей. Раньше ортогональность траекторий и волновых поверхностей рассматривалась лишь в обычной евклидовой геометрии. На самом же деле эта теорема справедлива для той неевклидовой и даже неримановой геометрии, которая внутренним образом связана с данной механической задачей. Поэтому наши прежние рассуждения были справедливы благодаря тому в какой-то мере случайному обстоятельству, что линейный элемент внутренней геометрии был пропорционален евклидову линейному элементу [см. (8.9.1)].

Задача 6. Показать, что уравнения нормали инвариантны относительно умножения элемента на произвольный множитель

В более общих случаях — таких, как движение электрона в магнитном поле, неконсервативные системы, релятивистская механика, распространение света в кристаллах — уже нет пропорциональности элемента внутренней геометрии и обычного элемента Ортогональность траекторий и волновых поверхностей сохраняется поэтому лишь в особом внутреннем смысле.

Соотношения между волновыми поверхностями и механическими траекториями более важны, когда задача рассматривается с точки зрения ее собственной внутренней геометрии. Тогда в совершенно общем случае мы встречаемся

с той же самой ситуацией, которая существует в оптике при изучении распространения света в оптически однородной среде. Оптические лучи являются прямыми линиями, т. е. кратчайшими линиями. Элементарные волны в построении Гюйгенса представляют собой сферы, причем не только в бесконечно малых, но и в конечных областях. Огибающие этих сфер, т. е. волновые поверхности, являются параллельными поверхностями, а оптические лучи — либо траектории механической системы — ортогональными траекториями для этого семейства параллельных поверхностей. Все это остается справедливым для произвольных оптических или механических систем при условии, что мы оперируем соответствующим образом определенным метрическим пространством.

Гаусс в своих бессмертных «Общих исследованиях поверхностей с кривизной» (Disquisitiones generates circa superficies curvas, 1827) первый обнаружил, что ортогональные траектории произвольного семейства параллельных поверхностей являются геодезическими линиями. Его исследования ограничивались той формой метрики, которая впоследствии была названа римановой. Однако в действительности эта теорема в полной мере справедлива для любой метрической геометрии.

Удивительная форма неримановой геометрии реализуется в в природе в оптических явлениях, связанных с кристаллами. В этой геометрии линейный элемент определяется следующим образом:

где скорость света получается из решения «уравнения Френеля»

Константы из называются «главными скоростями». Поскольку это уравнение приводит к квадратному уравнению для то получается двузначная метрика, т. е. в одной задаче сосуществуют два различных типа геометрии. В результате световая волна, падающая на кристалл, разделяется на две (различно поляризованные) волны и мы получаем явление «двойного лучепреломления». Элементарные волновые поверхности теории Гюйгенса образуют двойное семейство сложных поверхностей четвертого порядка, хотя они и остаются сферами при соответствующих геометриях.

Задача 7. Положим в уравнении Френеля Тогда возникнет осевая симметрия вокруг оси и кристалл из «двухосного» превратится в «одноосный». Показать, что при этом одна из метрик вырождается в метрику евклидова типа, так что одна группа волновых поверхностей превращается в сферы в евклидовом смысле («обыкновенный луч»). Выражение для расстояния во втором типе геометрии (связанном с «необыкновенным лучом») имеет вид

Резюме. Задачи динамики могут быть целиком сформулированы в геометрических образах. Для этого каждой заданной механической задаче нужно поставить в соответствие нужную форму метрической геометрии. В общем случае такая геометрия будет нериманова типа. Пространство конфигураций при этом включает в себя время наравне с другими переменными. Механические траектории являются кратчайшими, т. е. геодезическими, линиями этого многообразия, а волновые поверхности превращаются в параллельные поверхности. Геодезические линии могут быть получены как ортогональные траектории волновых поверхностей. Механическая задача соответствует задаче о распространении света в оптически однородной среде.