10. Геодезические линии в четырехмерном мире.
Движение частицы, свободной от действия внешних сил, можно описать с помощью принципа действия
Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией 
Кроме того, 
— это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент 
примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4
Если интересоваться тем, как свободная частица будет двигаться в криволинейной системе отсчета, то приходится решать вариационную задачу с функцией Лагранжа
где дифференцирование производится по некоторому параметру 
Снова перейдем к задаче Гамильтона, как это было уже сделано раньше в гл. VI, п. 10. Функция Гамильтона обращается в нуль, потому что опять 
однородная форма первого порядка относительно 
Кроме того, 
удовлетворяет тождеству [см. (6.10.27)]
где обозначение 
относится к элементам матрицы, обратной первоначальной матрице с элементами 
Следовательно, практически функцией Гамильтона нашей задачи является выражение
где 
в общем случае какие-то заданные функции переменных 
а значение постоянной в равенстве 
следует приравнять 1.
Уравнения движения, имеющие также смысл уравнений прямых линий в пространстве Минковского, принимают вид
