4. Канонические преобразования общего типа.

Инвариантность дифференциальной формы (7.2.13) не является абсолютно необходимой для сохранения вида канонических уравнений. Существует более широкая группа преобразований, которые оставляют инвариантными канонические уравнения. Предположим, что дифференциальная форма (7.2.13) преобразуется по следующему закону:

где полный дифференциал некоторой величины являющейся функцией Канонический интеграл принимает вид

Последний интеграл является граничным членом, не зависящим от способа варьирования, поскольку варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Следовательно, хотя мы и изменили канонический интеграл, это изменение свелось лишь к добавлению некоторой константы. Поэтому обращение в нуль вариации канонического интеграла, записанного в первоначальных переменных, гарантирует обращение в нуль вариации канонического интеграла в новых переменных. Это означает, что канонические уравнения движения остаются инвариантными относительно преобразования (7.4.1).

Мы получили наиболее общее условие для канонического преобразования. Требование инвариантности дифференциальной формы мы заменили условием

где некоторая заданная функция

Функция называется «производящей функцией» канонического преобразования. Вариация имеет вид

Подставим это выражение в (7.4.3), предполагая при этом, что не существует дополнительных условий, связывающих так что все — свободные вариации. Тогда получим

Уравнения (7.4.6) являются уравнениями произвольного канонического преобразования, свободного от каких бы то ни было априорных условий. В самой природе канонических преобразований заключено то свойство, что мы не можем получить в явном виде выражения старых переменных через новые переменные, и наоборот, не сделав предварительно

некоторых исключений. Мы имеем смешанное представление, в котором старые и новые импульсы записаны в виде функций и старых и новых позиционных координат. Для получения явного представления требуется разрешить относительно позиционных координат либо первую, либо вторую систему уравнений (7.4.6).

Наиболее общая форма канонического преобразования возникает в том случае, когда преобразование обладает производящей функцией и, кроме того, существуют дополнительные соотношения между как в случае преобразований Матье. Применение метода неопределенных множителей Лагранжа показывает, что уравнения преобразования имеют вид

где «видоизмененная производящая функция» определяется следующим образом:

До сих пор мы рассматривали только склерономные преобразования. Для обобщения на реономный случай следует снова обратиться к расширенному фазовому пространству, в котором время является дополнительной позиционной координатой. Производящая функция 5 тогда имеет вид

с дополнительным условием

Из определения функции при помощи обобщенной дифференциальной формы

сразу следуют снова уравнения (7.4.6), характеризующие каноническое преобразование; к ним добавляется, однако, еще одно уравнение

Наконец, инвариантность обобщенной функции Гамильтона приводит к следующему закону преобразования обычной функции Гамильтона Н:

Задача. Доказать справедливость соотношения (7.4.13) другим способом. Оставив время в качестве независимой переменной, рассмотреть каноническое преобразование, в котором время входит как параметр. После этого получить выражение (7.4.13), различая величины в каноническом интеграле и в определении канонического преобразования. В первом случае время варьируется, а во втором нет.

Резюме. Общая форма произвольного канонического преобразования связана с производящей функцией, которая определяет собой это преобразование. Любая функция переменных может быть выбрана в качестве производящей функции для соответствующего канонического преобразования. В дополнение к этой функции a priori может быть задан ряд определенных соотношений между . В этом случае мы получаем «обусловленное» каноническое преобразование. Число заданных заранее условий может меняться от одного до Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не задают преобразование в явном виде. Вместо выражений для новых переменных через старые либо наоборот — старых через новые мы имеем некоторое смешанное представление. Старые и новые импульсы выражаются через старые и новые позиционные координаты.