3. Четырехмерное пространство Минковского.

Формулы преобразования (9.2.9-9.2.10) обладают тем свойством, что они оставляют инвариантным выражение

Две системы отсчета, к которым они относятся, являются частными случаями более общего класса систем отсчета, которые равноправны с точки зрения описания событий природы. Такие системы отсчета допускают произвольный перенос начала координат (3 параметра), произвольный перенос начала отсчета времени (1 параметр), произвольный поворот пространственных осей (3 параметра) и поступательное движение с произвольной скоростью (3 параметра) — в общей сложности класс систем отсчета, допускающий свободный выбор 10 параметров. Это полное семейство допустимых систем отсчета может быть охарактеризовано одним утверждением, а именно координаты системы отсчета должны быть такими, чтобы оставалась

инвариантной следующая алгебраическая величина:

(если бы время не было нормировано, то последний член следовало бы умножить на с). Сюда следует добавить условие линейности соотношений между двумя системами отсчета. В ньютоновой физике эквивалентность систем отсчета ограничена инвариантностью величины

являющейся квадратом расстояния между точками . В этом случае эквивалентность систем отсчета обусловлена тем, что физическое пространство считается евклидовым пространством трех измерений, в котором эквивалентны все точки (возможность поступательного перемещения начала координат) и все направления (возможность поворота координатных осей).

Новая точка зрения, согласно которой эквивалентность систем отсчета требует инвариантности квадратичной формы

показывает, что физическому миру отвечает метрическая геометрия, в которой расстояние между двумя точками определяется выражением (9.3.4), а не (9.3.3). Это означает, что время присоединяется к пространственным координатам х, у, z, образовывая евклидово пространство четырех измерений. Это пространство не совсем евклидово из-за знака минус перед последним членом. Но его можно сделать формально евклидовым, вводя совокупность четырех математических координат с помощью следующих формул:

В этом случае выражение для расстояния между точками принимает вид

«Абсолютное пространство» и «абсолютное время» Ньютона больше не могут существовать как независимые категории

и сливаются в одно целое: «абсолютный пространственно-временной мир» теории относительности. В такой интерпретации все релятивистские эффекты предыдущего пункта следует рассматривать как геометрические эффекты, порождаемые тем обстоятельством, что явления природы разыгрываются в геометрическом пространстве четырех измерений с квазиевклидовой структурой.

Константа С может быть опущена, так как мы исходим из того, что величина расстояния между двумя точками зависит от единиц, в которых это расстояние измеряется. Однако небезразлично, нормировано ли С на +1 или —1. Если мы хотим, чтобы расстояния между любыми двумя физическими соединимыми точками выражались действительными числами, то следует выбрать —1. Поэтому положим

или, в дифференциальной форме,

Наличие различных знаков в этой квадратичной форме приводит к глубоким отличиям от истинного четырехмерного евклидова пространства, имеющего квадратичную форму со знаками «Нулевое расстояние» между двумя точками в евклидовом смысле означает, что эти точки совпадают. «Нулевое расстояние» в пространстве Минковского означает, что

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому уравнению, является сфера с центром в точке (х, у, z), которая расширяется со скоростью света, начиная с некоторого момента времени Сюда следует добавить сферу, которая раньше стягивалась в точку (х, у, z) и достигла нулевого радиуса в момент времени Из инвариантности расстояния относительно прямоугольных преобразований координат сразу следует, что если расстояние в одной из допустимых

систем координат, то оно равно нулю и во всех остальных допустимых системах координат. Это означает, что распространение света есть явление абсолютное, одинаковое во всех допустимых системах отсчета. Постулат Эйнштейна об инвариантности скорости света включен таким образом в более исчерпывающий принцип инвариантности линейного элемента (9.3.8).

Тот факт, что в природе невозможна скорость, превышающая скорость света, оказывается теперь естественным геометрическим следствием того, что такие скорости приводят к мнимым расстояниям, квадрат которых отрицателен. Произвольная точка (х, у, z, t) физического многообразия может быть физически связана лишь с такими точками (х, у, z, t), для которых

Уравнение

называется уравнением «светового конуса», связанного с точкой (х, у, z, t). О точках, для которых в неравенстве (9.3.10) выполняется знак «больше», говорят, что они «лежат внутри светового конуса» с центром (х, у, z, t).