6. Построение главной функции Гамильтона при помощи полного интеграла Якоби.

Несмотря на различие подходов, характеризующих теории Гамильтона и Якоби, между -функцией и -функцией имеется определенная связь.

Теория интегрирования Якоби косвенным образом включает в себя -функцию. Зная -функцию Якоби, можно при помощи дифференцирования и разрешения конечных уравнений построить главную функцию Гамильтона.

Рис. 19.

Для того чтобы показать это, вернемся к развитой ранее теории бесконечно малых преобразований (см. гл. VII, п. 7). Будем считать -функцию Якоби производящей функцией бесконечной последовательности непрерывно изменяющихся канонических преобразований. Физически такая последовательность реализуется в виде движения фазовой жидкости. Произвольная фиксированная точка фазового пространства преобразуется в движущуюся точку Эта точка в момент времени оказывается в положении а в момент времени в положении . С другой стороны, функция Гамильтона может быть представлена как производящая функция канонического преобразования, переводящего точку непосредственно в минуя точку

Воспользуемся теперь групповыми свойствами канонических преобразований (см. гл. VII, п. 7). Оба преобразования, как так и являются каноническими. Следовательно, результирующее преобразование от тоже каноническое. Производящая функция результирующего преобразования равна разности двух производящих функций отдельных преобразований [см. (7.7.3)]. Отсюда получается следующее замечательное соотношение:

Однако наше построение еще не закончено, поскольку мы должны рассматривать уравнения

как дополнительные условия. Подставив эти два уравнения, получим условий

Эти условий могут быть использованы для исключения так что окончательно оказывается функцией одних только

Таким образом, мы пришли к следующей схеме, позволяющей получить главную функцию Гамильтона из полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби.

1. Берется разность

2. Уравнения

разрешаются относительно

3. Полученные выражения для подставляются в . В результате получается функция зависящая от Это и есть главная функция Гамильтона

Задача 1. Решить уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби методом разделения переменных для случая однородного гравитационного поля (см. задачу 2, п. 5). Из этого решения получить -функцию Гамильтона и показать, что результат совпадает с прежним результатом, когда -функция строилась на основе полученного предварительно полного решения уравнений движения.

Задача 2. Пусть задана консервативная система, для которой известна независящая от времени -функция, связывающая две точки фазового пространства

Показать, что зависящая от времени -функция может быть получена в следующем виде:

при условии, что мы исключим константу энергии с помощью уравнения

Резюме. Хотя главная функция Гамильтона содержит лишнюю константу, она может быть получена из полного решения уравнения теории Якоби с помощью дифференцирования и необходимых исключений.