7. Динамика твердого тела. Уравнения Эйлера.
Переходим ко второму условию равновесия твердого тела, свободно движущегося в пространстве: сумма всех моментов должна обратиться в нуль.
Задача 1. Показать, что в нашей системе отсчета результирующий момент сил Эйнштейна обращается в нуль.
Так как силы Эйнштейна не имеют результирующего момента, то должна обратиться в нуль сумма моментов следующих трех категорий сил: приложенных сил, центробежных сил и сил Эйлера.
Введем прямоугольную систему координат с осями 
и началом в центре масс. Пусть оси этой системы жестко связаны с телом и совпадают с «главными осями инерции». Это означает, что в нашей системе координат равны нулю «произведения инерции»
Кроме того, введем общепринятые обозначения
Задача 2. Показать, что компоненты результирующего момента центробежных сил (4.5.11) равны
Задача 3. Показать, что компоненты результирующего момента сил Эйлера (4.5.14) равны
Обозначим компоненты результирующего момента 
приложенных сил через
Условие обращения в нуль суммы моментов (4.7.3), (4.7.4) и (4.7.5) приводит к уравнениям Эйлера
Эти знаменитые уравнения описывают изменение со временем положения мгновенной угловой скорости вращения 
относительно системы координат, связанной с телом. Они решают лишь часть динамической задачи о свободном вращении твердого тела и должны быть дополнены описанием движения системы координат, связанной с телом относительно системы неподвижных осей. Эта задача, как и ряд других задач динамики твердого тела, выходит за рамки данной книги, посвященной основным принципам механики и обращающейся к приложениям лишь для иллюстрации применения этих основных принципов. Для дальнейшего изучения этой темы читатель отсылается к учебникам, указанным в библиографии.
Резюме. Уравнения Эйлера, описывающие величину изменения вектора угловой скорости вращения твердого тела относительно осей координат, жестко связанных с телом и направленных вдоль его главных осей инерции, могут быть интерпретированы как условия обращения в нуль результирующего момента сил следующих трех категорий: сил Эйлера, центробежных сил и внешних сил.
