6. Теорема сохранения энергии как следствие канонических уравнений.

Канонические уравнения

получают новый смысл, если их интерпретировать гидродинамически, имея в виду движение фазовой жидкости. Они определяют скорость частиц жидкости в определенной точке фазового пространства в определенный момент времени. Оказывается, что особые типы движения жидкости, представляющие интерес в обычной гидродинамике, интересны также и при движении фазовой жидкости.

Одним из таких типов является стационарное движение жидкости. В нем поле скоростей не зависит от времени Хотя жидкость движется и частицы все время изменяют

свое положение, скорость в определенной точке пространства постоянна. Это означает, что в описании с помощью поля правые части уравнений (6.5.4) явно не зависят от времени

Такая же ситуация возникает в потоке фазовой жидкости в случае консервативных (склерономных) систем. Здесь функция Лагранжа, а следовательно, и функция Гамильтона, не зависят от

Поэтому правые части уравнений (6.6.1) не зависят от времени, откуда сразу следует, что фазовая жидкость в случае консервативных систем находится в состоянии стационарного движения.

Второй фундаментальной теоремой, которая может быть получена для таких систем, является теорема о сохранении энергии. Дифференцирование уравнений (6.6.2) дает

Из канонических уравнений (6.6.1) сразу видно, что

и, следовательно,

Эта теорема придает функции физический смысл «полной энергии». Если и квадратичная функция скоростей, в то время как V от скоростей не зависит, то

В релятивистской механике ни одно этих условий не выполняется. Тем не менее теорема о сохранении энергии (6.6.5) остается справедливой, но функция определяется в соответствии с общей формулой (6.2.3)

Теорема о сохранении энергии (6.6.5) имеет интересную геометрическую интерпретацию в связи с движением фазовой жидкости. Уравнение

определяет некоторую поверхность в -мерном пространстве. Если константа может принимать произвольные значения, то мы получаем бесконечное семейство поверхностей, заполняющих все фазовое пространство. Теорема о сохранении энергии утверждает, что частица жидкости, начавшая свое движение на некоторой изоэнергетической поверхности, остается на этой поверхности в течение всего движения, независимо от его продолжительности.

Резюме. Если функция Гамильтона не зависит от времени то механическая система консервативна. Такие системы характеризуются двумя особыми свойствами фазовой жидкости:

1. Движение фазовой жидкости является стационарным.

2. Каждая частица жидкости остается все время на «изоэнергетической поверхности»