ГЛАВА III. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

1. Принцип виртуальных перемещений для обратимых перемещений.

Первый вариационный принцип, с которым мы встречаемся в механике, это принцип виртуальных перемещений. Он определяет равновесие механической системы. Принцип имел фундаментальное значение для последующего развития аналитической механики.

Согласно ньютоновой механике, частица находится в равновесии, если результирующая сила, действующая на эту частицу, равна нулю. При этом частица изолируется и все ее связи заменяются силами. Неудобство подобного подхода станет очевидным, даже если обратиться, например, к столь простой задаче, как равновесие рычага. Рычаг состоит из бесконечного числа частиц и число внутренних сил взаимодействия между этими частицами бесконечно. При аналитическом подходе можно не интересоваться всеми этими силами, а рассматривать лишь внешние в данном случае силы тяжести. Это достигается путем учета лишь тех виртуальных перемещений, которые допускаются наложенными связями. В случае рычага, например, мы рассматриваем лишь вращение всего рычага как твердого тела вокруг точки опоры. Поэтому сохраняются неизменными расстояния между любыми двумя точками рычага. При таком подходе надобность в учете внутренних сил, порождаемых связями, отпадает.

С точки зрения механики поведение твердого тела сильно отличается от поведения кучи песка. Существуют значительные внутренние силы, действующие между частицами твердого тела, которые удерживают эти частицы на своих местах внутри тела; такие силы не возникают между песчинками.. Как доказать наличие этих сил? Это можно сделать, попытавшись разрушить твердое тело, т. е. сдвинуть одни частицы относительно других таким способом, который не допускается данными связями. Если мы осторожно перемещаем

кучу песка, вращая либо передвигая ее параллельно самой себе, то разница между ней и твердым телом как механическими системами пропадает, так как значительные по величине внутренние силы, отличающие твердое тело от кучи песка, при таком движении не действуют. Вот почему в вариационных методах механики «силами связи», обеспечивающими выполнение некоторых определенных кинематических условий, пренебрегают, принимая во внимание лишь работу «приложенных (активных) сил». Исключить действие внутренних сил удается благодаря тому, что виртуальные перемещения системы не нарушают имеющихся кинематических связей. Число уравнений, получаемых при таком подходе, меньше числа частиц, но оно в точности равно числу степеней свободы системы.

Воспользуемся сначала языком векторной механики. Предположим, что некоторые заданные внешние силы действуют на систему в точках Виртуальные перемещения этих точек обозначим через

Эти виртуальные перемещения не должны нарушать имеющихся кинематических связей; мы будем предполагать, что все эти перемещения обратимы, т. е. что заданные связи не мешают нам заменить любое перемещение на

Принцип виртуальных перемещений утверждает, что данная механическая система будет находиться в равновесии в том и только том случае, когда полная виртуальная работа всех приложенных сил обращается в нуль

Переведем это уравнение на аналитический язык. С этой целью выразим прямоугольные координаты как функции обобщенных координат подобно тому как это было сделано в гл. I, п. 7. Дифференциальная форма (3.1.2) преобразуется в новую дифференциальную форму

где компоненты обобщенной силы, образующие вектор в -мерном пространстве конфигураций.

Принцип виртуальных перемещений требует, чтобы

Можно предложить поразительную геометрическую интерпретацию этого уравнения. В левой его части записано, по сути дела, «скалярное произведение» силы и виртуального перемещения. Обращение в нуль этого скалярного произведения означает, что сила ортогональна всем возможным виртуальным перемещениям.

Предположим сначала, что на координаты не наложено никаких связей. В этом случае С-точка в пространстве конфигураций может перемещаться в любом направлении. Тогда принцип (3.1.4) требует, чтобы сила обратилась в нуль, потому что не существует вектора, который был бы перпендикулярен ко всем направлениям в пространстве.

Пусть теперь С-точка под действием заданных кинематических связей вынуждена оставаться в некотором -мерном подпространстве пространства конфигураций. Тогда условие (3.1.4) требует уже не обращения в нуль силы а лишь ее ортогональности этому подпространству. Это дает уравнений, что соответствует степеням свободы механической системы.

Мы можем теперь дать физическую интерпретацию принципа виртуальных перемещений. Согласно механике Ньютона, состояние равновесия требует, чтобы результирующая сила, действующая на любую частицу системы, была равна нулю. Эта результирующая сила есть сумма приложенных сил и сил, обеспечивающих выполнение наложенных связей. Последние обычно называются «силами реакции». Так как условие равновесия требует, чтобы «сумма приложенной силы и результирующей сил реакции равнялась нулю», то виртуальная работа приложенных сил равна виртуальной работе сил реакции, взятой с обратным знаком. Следовательно, принцип виртуальных перемещений можно сформулировать в несколько другом виде, который мы будем называть постулатом А:

«Виртуальная работа сил реакции всегда равна нулю на любом виртуальном перемещении, не нарушающем заданных кинематических связей».

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль

Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием

Если равновесие устойчиво, то потенциальная энергия должна иметь минимум, точнее относительный минимум, в то время как в общем случае для равновесия требуется не минимальность, а лишь стационарность

Резюме. Принцип виртуальных перемещений требует, чтобы в состоянии равновесия равнялась нулю работа приложенных сил при любой бесконечно малой вариации конфигурации системы, при которой не нарушаются наложенные кинематические связи. Для моногенных сил это приводит к следующему условию: в состоянии равновесия потенциальная энергия должна иметь стационарное значение по отношению ко всем кинематически возможным вариациям.

Следующие два пункта будут посвящены приложению принципа виртуальных перемещений к статике твердого тела. Эти результаты хорошо известны из элементарной векторной механики, однако получение их из одного общего принципа является полезным упражнением.