4. Метод Делоне для разделения переменных в периодических системах.

Метод разделения переменных, если он применим, приводит к получению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, необходимого в теории интегрирования Якоби. «Полный интеграл» уравнения в частных производных первого порядка может принимать множество различных форм. Предположим, что мы имеем какой-то полный интеграл

Применим к постоянным интегрирования произвольное точечное преобразование

Вводя эти соотношения в функцию (8.4.1), получаем в виде

Эта функция тоже является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби, при условии, что мы добавим к этому решению уравнение

в качестве дополнительного условия.

С константами можно поступить так же, как мы поступили раньше с константами а именно принять их за преобразованные координаты Тогда мы получим каноническое преобразование от которое переводит функцию Гамильтона в

Хотя эта формула функции Гамильтона более сложна по сравнению с тем не менее и в этих координатах канонические уравнения интегрируются в явном виде. Действительно, функция зависит лишь от одной совокупности переменных, в нее не входят. Поэтому переменные и здесь являются как бы циклическими. Получим

откуда

Вторая группа канонических уравнений даст при этом

Постоянство правых частей в (8.4.8) следует из того, что все константы, так что

и канонические уравнения таким образом оказываются полностью проинтегрированными.

Преимущество такой более общей формы решения для систем с разделяющимися переменными заключается в следующем. Может оказаться, что первоначальные константы появившиеся в процессе разделения переменных, не имеют определенного физического смысла, в то время как новые константы могут быть увязаны с физической сущностью задачи; тогда новая совокупность констант будет более удобна для обсуждения теоретических выводов, чем старая.

Такова основная идея замечательного метода, предложенного французским астрономом Делоне (1816—1872) для решения определенного класса задач с разделяющимися переменными. На первый взгляд теория Делоне кажется весьма специальной и чисто методической. Однако именно этот метод, первоначально разработанный для чисто астрономических целей, раскрыл глаза физикам на силу идей Гамильтона.

Как мы уже знаем, при разделении переменных сопряженные переменные в каждой паре оказываются связанными друг с другом без участия остальных переменных. Поэтому, исходя из уравнений (8.3.4) и считая константами, мы можем нарисовать в плоскости линии тока фазовой жидкости. В классических задачах механики квадратичная функция и поэтому решение уравнения должно обязательно приводить к решению некоторого квадратного уравнения. Это дает, вообще говоря, два решения, так что могут быть найдены два значения соответствующие одному и тому же Предположим, что дискриминант квадратного уравнения положителен только в определенном конечном интервале изменения . В этом случае колеблется между двумя фиксированными предельными значениями и а линии тока соответствующей двумерной фазовой жидкости должны быть замкнутыми.

Линии тока могут быть замкнутыми не только при двузначности соотношений между но и еще в одном случае. Может случиться, что одна из переменных меняется в некотором диапазоне от до вследствие геометрической связности фазового пространства.

Рис. 13.

Рис. 14.

Например, если координатой является угол меняющийся в интервале от 0 до , то линия тока на самом деле не открытая, как это может показаться из рис. 14, а замкнутая, потому что конечные точки совпадают. Это можно было бы проиллюстрировать, согнув плоскость рисунка в цилиндр и совместив граничные ординаты. Движущаяся С-точка перепрыгивает

обратно из и продолжает свое движение вдоль той же самой линии тока.

Предположим, что по первой или по второй причине линии тока во всех плоскостях — замкнутые. Тогда движущаяся частица жидкости возвращается в ту же самую точку, а затем движение повторяется. Мы имеем тогда периодическое движение. Это касается, однако, только траектории движущейся точки, спроектированной на плоскости в отношении же движения во времени периодичность не имеет места. Скорость, с которой точка начинает свой второй виток, не совпадает с первоначальной скоростью, потому что в общем случае зависят от всех и поэтому возвращения одной пары переменных к начальным значениям недостаточно для того, чтобы движение было периодическим. Однако движение содержит в себе независимых периодов, и они охватывают неразделяющимся образом все переменные. Метод Делоне показывает, как путем изучения свойств двух основных функций — функции Гамильтона и производящей функции можно получить все частоты движения. В этом заключается суть метода. Соответствующее преобразование обнаруживает многопериодическую структуру данной системы с разделяющимися переменными и определяет частоты системы в явном виде. Этот процесс не требует ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно определенных переменных.

Мы знаем, что константы а; и постоянная энергии являются новыми позиционными координатами в соответствующем каноническом преобразовании. Заменим эти переменные новыми переменными называемыми «переменными действия», потому что они имеют размерность «действия», т. е. произведения на

Начнем с уравнений (8.3.4), которые, согласно нашему предположению, дают замкнутые линии в плоскостях Вычислим следующие определенные интегралы, взятые вдоль всей линии тока:

Этот криволинейный интеграл равен площади, охватываемой линией тока. Эта площадь является функцией

которые входят в подинтегральные выражения в качестве параметров

При помощи этих уравнений можно выразить как функции

Исходя из этих соотношений, можно ввести «переменные действия» в производящую функцию и получить в виде функции и

Нужное преобразование теперь определено. Двумя основными функциями в новой системе переменных являются функции Функция является в действительности функцией Гамильтона в новой системе.

Переменные действия являются позиционными координатами новой системы отсчета. Сопряженные импульсы называются угловыми переменными. Они являются безразмерными величинами. Мы будем пользоваться не самими а величинами, отличающимися от них знаком, которые обозначим Согласно общей схеме преобразования,

Исследуем эти уравнения несколько более подробно. Рассмотрим функциональные соотношения между первоначальными и новыми при условии постоянства При этом мы сможем говорить об отображении -мерного -пространства на -мерное -пространство, и наоборот. Соотношения (8.4.15), выражающие через не однозначны. Отметим сначала, что пространство конфигураций в котором происходит движение, является ограниченной областью -мерного пространства. Координаты меняются между определенными минимальными и максимальными значениями. Поэтому, если нанести в качестве координат на прямоугольные оси -мерного пространства, то ввиду

разделения переменных все движение окажется ограниченным некоторым «прямоугольным ящиком» в этом пространстве. Например, в случае задачи Кеплера из уравнений (8.3.9) видно, что меняется от 0 до между каким-то минимальным значением и максимальным между некоторым минимумом (перигелием) и максимумом (афелием). С точки зрения физического пространства это означает, что движение происходит внутри области, ограниченной двойным конусом и двумя концентрическими сферами.

Нанесем теперь одну линию тока на плоскость и совершим вдоль нее один полный виток; изменится от минимального до максимального, а затем снова до минимального значения, в то время как остальные останутся неизменными. Посмотрим, что произойдет при этом с Из уравнений (8.4.15) следует

Теперь при интегрировании являются параметрами. Поэтому операцию дифференцирования по можно вынести из-под знака интеграла, пользуясь правилом дифференцирования по параметру

Последний интеграл по определению равен Поэтому

где символ. Кронекера.

Таким образом, полный цикл изменения переменной приводит к изменению на единицу, в то время как остальные не меняются. Этот результат дает ключ для понимания взаимосвязи между и -переменными. Можно сказать, что -пространство носит характер «зеркальной комнаты». Представим себе единичный куб в -мерном пространстве, стенками которого являются отражающие зеркала. Возьмем произвольную точку внутри куба. В каждом направлении, перпендикулярном к отражающим стенкам, появляется бесконечное число мнимых изображении. Единичный

куб повторяется бесконечное число раз. Однако все изображения точки находящейся внутри куба, соответствуют одной и той же точке в -пространстве.

Рис. 15.

Имеется и аналитическое рассуждение, соответствующее этой геометрической картине. Обратим соотношение между -пространством, считая функциями Тот факт, что изменение произвольного на единицу не меняет значений означает, что -периодические функции всех угловых переменных с периодом, равным единице. Это в свою очередь означает, что могут быть представлены в виде кратных рядов Фурье, т. е. бесконечных рядов синусов и косинусов с аргументами

где произвольные целые числа, и с постоянными амплитудами.

Из рис. 15 видно, что преобразование от -пространства к -пространству является двузначным (одна -точка переходит в две -точки) в соответствии с колебательным характером изменения между крайними значениями (рис. 13). Если выполняются условия рис. 14, то преобразование от -пространства к -пространству однозначно, так как первоначальная переменная сама по существу является угловой переменной. Преобразование от к -пространству всегда однозначно (одна -точка преобразуется в одну -точку).

Эти сведения о соотношениях между и -переменными помогут нам довольно подробно представить себе картину, связанную с полным интегрированием задачи движения. До сих пор мы не учитывали канонических уравнений, а попросту исследовали некое каноническое преобразование.

Теперь решим канонические уравнения в новой системе координат с переменными Напомним, что соответствуют соответствуют Функцией Гамильтона является Первая группа канонических уравнений дает [см. (8.4.6)]

откуда

Постоянство уже предполагалось в наших предыдущих рассуждениях.

Вторая группа уравнений [см. (8.4.7)] дает

и, следовательно,

Подставив эти значения в аргументы (8.4.19) членов разложения в кратный ряд Фурье, получим, что все движение аналитически представляется в виде суперпозиции простых гармонических колебаний с основными частотами Таким образом, частоты движения получаются из полной энергии, выраженной через переменные действия. Частные производные по дают непосредственно частоты системы.

Задача. Вернемся к задаче об ангармоническом осцилляторе, уже рассматривавшейся в задаче 2, п. 3. Применяя метод Делоне, показать, что

что дает три частоты

Можно, однако, продолжить наш анализ. Исследуем траекторию точки, движущейся в -пространстве. Уравнения (8.4.23) показывают, что траектория является прямой линией, которая проходится с постоянной скоростью. Соответствующая кривая в -пространстве может быть очень сложной фигурой Лиссажу.

Используем тот факт, что -пространство сводится к единичному кубу. Дойдя до правой стенки куба, прямая

линия перескакивает в соответствующую точку левой стенки и продолжается в прежнем направлении. Такие перескоки совершаются многократно, как это показано на рис. 16 для двумерной проекции. Случайно линия может замкнуться, но может случиться и так, что она никогда не вернется в исходную точку. Критерием замыкания могут служить линейные соотношения вида

с целыми значениями Если существует соотношений подобного типа, то через какое-то конечное время линия снова пройдет через начальную точку, так что движение строго периодично. Если не существует ни одного такого соотношения, то линия заполняет собой весь единичный куб, время от времени подходя сколь угодно близко к любой точке внутри куба. Если же, наконец, существует соотношений типа (8.4.24), то движущаяся точка будет оставаться на определенной -мерной плоскости внутри куба, подходя сколь угодно близко к каждой точке этого подпространства. Эти результаты могут быть сразу же перенесены и на первоначальное пространство конфигураций переменных хотя прямые линии и заменяются кривыми, а плоское подпространство — искривленным подпространством с тем же числом измерений.

Рис. 16.

Метод Делоне проливает новый свет на понятие «вырожденные системы» старой квантовой теории. Если траектории полностью заполняют разрешенную область пространства конфигураций, то система не вырождена и разделение переменных возможно только в координатах одного вида.

Это соответствует тому случаю, когда отсутствуют целочисленные соотношения между частотами. Если существуют одно или больше соотношений типа (8.4.24), то движение заполняет лишь отдельные части пространства конфигураций. Система в этом случае является однократно либо многократно вырожденной.

Например, в случае эллипсов Кеплера, принимает вид

Здесь

и движение происходит вдоль одного и того же эллипса. Введение слабого магнитного поля (эффект Зеемана) снимает однократное вырождение, заставляя плоскость эллипса медленно прецессировать вокруг полярной оси. Оставшееся вырождение может быть снято, если предположить, что сила притяжения меняется как некоторая степень расстояния, хотя бы немного отличная от 2. На самом деле это вырождение снимается в связи с тем, что движение происходит в соответствии с законами релятивистской, а не классической механики. Это заставляет перигелий эллипса медленно прецессировать в плоскости самого эллипса. Вместе оба эти эффекта определяют движение, полностью заполняющее допустимую область пространства конфигураций.

Метод Делоне возник из астрономических задач теории возмущений. Однако он был замечательным образом применен к задачам молодой квантовой теории. Квантовая теория Бора предполагала, что для вращающегося электрона разрешены лишь определенные орбиты. При движении по этим орбитам полностью отсутствуют потери энергии, так что движение происходит в соответствии с обычными законами механики. Таким образом, квантовая теория восприняла принципы механики, а следовательно, и канонические уравнения без каких бы то ни было модификаций. Она просто добавила определенные дополнительные ограничения на начальные условия. Теперь констант интегрирования стали уже не произвольными величинами, а величинами

«квантованными» в соответствии с определенными правилами. Для этих «квантовых условий» метод Делоне изучения многопер йодных систем был чрезвычайно удобен. Вторая группа констант - «фазовые углы» которые появляются при интегрировании второй группы канонических уравнений в представлении Делоне [см. (8.4.23)], оставлялись при этом произвольными; первая же группа констант, переменные действия, квантовалась. Квантовые условия требовали, чтобы переменные действия были равны целым кратным фундаментальной величины — постоянной Планка

(Целые числа называются «квантовыми числами».) Таким образом, метод Делоне, первоначально развитый для планетарных задач теории возмущений, нашел свои наиболее важные применения в области атомной физики.

Условия (8.4.27) называются «квантовыми условиями Зоммерфельда — Вильсона» (1915). Они не отвечают на вопрос о том, что происходит в случае систем с неразделяющимися переменными. Более того, квантование зависело от использованной системы координат; изменение системы координат приводило к совершенно другим механическим траекториям. В 1917 г. Эйнштейн предложил удивительно эффектную новую интерпретацию квантовых условий Зоммерфельда — Вильсона, оперируя не с линиями тока в плоскостях а с самой -функцией. Заметим, что ввиду (8.3.2) «фазовые интегралы» (8.4.10) могут быть заменены на т.е. на изменение за один полный виток. Следовательно, в квантовых условиях содержится нечто, связанное с многозначностью функций . Эйнштейн ввел сумму всех квантовых условий

где снова целое число. Это одно уравнение, конечно, не может заменить первоначальную систему уравнений. Однако Эйнштейн рассматривал его скорее не как уравнение, а как принцип, потребовав, чтобы многозначность была такова, чтобы для любой замкнутой кривой пространства конфигураций изменение на одном полном витке было кратно . В случае систем с разделяющимися переменными следует выбрать кривые с тогда принцип Эйнштейна сразу приведет к квантовым условиям (8.4.27). Инвариантная формулировка квантовых условий, данная Эйнштейном, привела де Бройля в 1924 г. к его фундаментальному открытию волн материи.

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются «переменные действия» определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком, — «угловые переменные» — линейно меняются со временем Частные производные по дают новых констант, являющихся частотами движения Каждое может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными.