ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Введение. Мы подошли, наконец, к типичным «вариационным принципам», в которых рассматривается минимум или, точнее, стационарное значение некоторого определенного интеграла. Полигенный характер силы инерции можно обойти при помощи интегрирования по времени. В результате такого подхода задача динамики сводится к исследованию некоторого скалярного интеграла. Из условия стационарности этого интеграла получаются все уравнения движения.

Несмотря на то, что имеется целый ряд вариационных принципов, связанных с именами Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона, все эти принципы взаимосвязаны, и к ним ко всем подходит название «принцип наименьшего действия», если понимать этот термин в широком смысле слова.

При изложении вариационных принципов мы не будем придерживаться исторической последовательности, а начнем с «принципа Гамильтона», который является наиболее прямым и наиболее естественным преобразованием принципа Даламбера в минимальный принцип. Из него при некоторых ограничениях мы сможем получить более старые формы принципа, применявшиеся Эйлером и Лагранжем, а также принцип Якоби.

1. Принцип Гамильтона.

В принципе Даламбера оперируют с неинтегрируемыми дифференциалами. Приравнивается нулю некоторая бесконечно малая величина полная виртуальная работа приложенных и инерционных сил. Две составные части совершаемой работы, связанные с этими двумя категориями сил, резко различаются по своему характеру. Виртуальная работа приложенных сил — моногенный дифференциал, получаемый из силовой функции; виртуальную работу сил инерции нельзя получить из какой-либо одной функции — ее приходится выписывать для каждой частицы в отдельности. Это ставит силы инерции в очень невыгодное положение по сравнению с приложенными силами. Большое теоретическое и практическое значение имеет тот факт, что это положение может быть исправлено путем преобразования, которое придает принципу Даламбера моногенный характер. Хотя в неявном виде это использовалось еще Эйлером и Лагранжем,

Гамильтон первый произвел преобразование принципа Даламбера, показав, что интегрированием по времени можно придать работе сил инерции моногенную форму.

Умножим величину на и проинтегрируем в интервале от до

Представим правую часть (5.1.1) в виде суммы двух слагаемых. Первое из них может быть записано в виде

(Мы предполагаем, что силовая функция не зависит от скоростей, и полагаем Во второй части можно выполнить интегрирование по частям

Первый интеграл в (5.1.3) после интегрирования дает граничный член

Второй интеграл, с учетом коммутативности операций варьирования и дифференцирования [см. уравнение (2.9.3)], преобразуется следующим образом:

Далее, просуммировав по всем частицам, окончательно получим

Вводя затем кинетическую энергию механической системы, согласно определению (1.5.9), построим с ее помощью функцию

Функция определенная как избыток кинетической энергии по сравнению с потенциальной, является наиболее важной величиной при математическом анализе задач механики. Эту функцию обычно называют «функцией Лагранжа».

С помощью функции Лагранжа выражение (5.1.6) можно записать в форме

До сих пор вариации являлись произвольными виртуальными изменениями радиусов-векторов Потребуем теперь, чтобы обязательно обращались в нуль на концах интервала и

Это означает, что при положение механической системы считается заданным, и при этих граничных значениях не допускаются никакие вариации. Мы говорим, что мы варьируем «при фиксированных граничных значениях», потому что начальное и конечное положения системы заданы. В этом случае граничный член в правой части (5.1.8) обращается в нуль и интеграл по времени от виртуальной работы, совершенной эффективными силами, переходит в вариацию некоторого определенного интеграла

где

Так как принцип Даламбера требует, чтобы величина равнялась нулю в любой момент времени, левая часть (5.1.10) также должна быть равна нулю. Следовательно, принцип Даламбера можно сформулировать в виде

Это и есть «принцип Гамильтона». Он утверждает, что движение произвольной механической системы происходит таким образом, что определенный интеграл А приобретает стационарное значение по отношению к любым возможным вариациям положения системы, при которых начальное и конечное положения остаются фиксированными.

Гамильтон, по существу, дал улучшенную математическую формулировку принципа, который был установлен еще в фундаментальных исследованиях Эйлера и Лагранжа; предложенная им операция интегрирования по времени также была известна уже Лагранжу. Поэтому название «принцип Гамильтона», данное Якоби, не привилось среди ученых прошлого столетня. Оно вошло в употребление, однако, благодаря ряду учебников, появившихся в более позднее время.

Рассуждения, которые привели нас к принципу Гамильтона, могут быть проведены и в обратном порядке. Мы можем сначала постулировать, что обращается в нуль для произвольных вариаций положения системы, а затем преобразовать в левую часть (5.1.10) и прийти к обращению в нуль величины т. е. к принципу Даламбера. Отсюда видно, что принцип Гамильтона и принцип Даламбера математически эквивалентны и их возможности одинаковы до тех пор, пока приложенные силы, действующие на механическую систему, являются моногенными. В случае полигенных сил преобразование принципа Даламбера в минимальный принцип, или, точнее говоря, в принцип стационарного значения, становится невозможным. Так как голономные кинематические связи механически эквивалентны моногенным силам, а неголономные связи — полигенным силам, то мы можем сказать, что принцип Гамильтона применим к произвольной механической системе, характеризуемой

моногенными силами и голономными связями. Консервативности же сил и стационарности связей (т. е. их независимости от времени) не требуется.

В то время как в принципе Даламбера высказываются независимые суждения для каждого отдельного момента времени в процессе движения, принцип Гамильтона содержит лишь одно утверждение, охватывающее весь промежуток времени. В этом принципе движение рассматривается как нечто целое.

Это унифицирующее свойство вариационного принципа поистине замечательно. Хотя современная физика существенно отошла в своем развитии от старого курса вследствие появления теории относительности и квантовой теории, тем не менее идея о получении основных уравнений природы из вариационных принципов сохранилась. И уравнения теории относительности, и уравнения волновой механики получаются, подобно более старым уравнениям физики, из «принципа наименьшего действия». Только функцию Лагранжа L определяют по-разному.

Резюме. При помощи интегрирования по времени виртуальная работа сил инерции может быть преобразована в истинную вариацию. Таким образом, принцип Даламбера может быть математически переформулирован в принцип Гамильтона; последний требует стационарности определенного интеграла, взятого по времени, от функции Лагранжа L, где L — разность между кинетической и потенциальной энергиями. Варьирование должно производиться при фиксированных граничных положениях системы (и фиксированном интервале времени).