9. Главная функция Гамильтона и движение фазовой жидкости.

Результаты нашего обсуждения, естественно, имеют отношение к задаче интегрирования уравнений динамики. Нам уже известно соотношение между производящей функцией и функцией Гамильтона [см. уравнение (7.8.2)]

При этом следует помнить, что в функции Гамильтона заменены на Предположим, что мы можем найти производящую функцию удовлетворяющую этому уравнению в частных производных. Тогда мы сможем получить движение фазовой жидкости в виде последовательных фаз зависящего от времени канонического преобразования с заданной производящей функцией После соответствующих" дифференцирований и исключений это преобразование может быть найдено в явном виде. Уравнения преобразования записываются в такой форме

Получение этих формул равносильно полному интегрированию динамической задачи, потому что все механические переменные записаны в виде явных функций времени постоянных которые могут быть выбраны в соответствии с произвольными начальными условиями. В действительности эти «постоянные» являются координатами той фиксированной точки которая преобразуется в движущуюся точку движение последней обусловлено тем, что наше преобразование зависит от времени. В результате оказывается, что в явной форме описано все движение фазовой жидкости. При этом координаты играют роль произвольных постоянных интегрирования.

Следовательно, задача интегрирования сводится к задаче нахождения производящей функции для данной непрерывной последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Если эту задачу решить, то остальное получается при помощи дифференцирований и разрешения конечных уравнений.

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там «характеристической функцией»; эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз «главной функцией». Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.)

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида; она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждений Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа и функция Гамильтона не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто: задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени в число механических переменных.

Вернемся к принципу наименьшего действия в формулировке Лагранжа, перейдя, однако, от -мерного пространства конфигураций к -мерному фазовому пространству (см. гл. V, п. 6). Требуется найти стационарное значение «действия»

при том дополнительном условии, что С-точка в фазовом пространстве остается на поверхности постоянной энергии

Как мы знаем, тот же самый принцип можно выразить в форме Якоби. Требуется минимизировать интеграл

без каких бы то ни было дополнительных условий. Мы видели, что можно ввести риманов линейный элемент

с помощью которого принципу Якоби можно придать простой геометрический смысл: требуется определить кратчайшие (геодезические) линии в некотором римановом пространстве. Предположим, что мы нашли эти геодезические линии и вычислили вдоль них интеграл (7.9.5). При этом мы фактически получили длину дуги геодезической линии между двумя точками или, проще говоря, «расстояние» между точками Это расстояние, очевидно, является функцией координат двух крайних точек Таким образом, выраженное через координаты двух крайних точек это расстояние и есть главная функция Гамильтона. Очевидно, что любые две точки пространства конфигураций (по крайней мере в достаточно малой области) могут быть соединены геодезической линией. Поэтому главная функция Гамильтона может быть записана для любой пары точек Обозначив главную функцию Гамильтона через получим

Из предыдущего известно, что вариация интеграла А равна нулю при варьировании с фиксированными граничными значениями, и содержит только граничный член, если граничные значения варьируются (см. гл. VI, п. 8)

С другой стороны, функция по определению, есть не что иное, как определенный интеграл А, записанный в виде функции точек между которыми этот интеграл берется. Отсюда следует

Сравнение последних двух уравнений приводит к следующим соотношениям:

Эти уравнения снова показывают, что два положения движущейся фазовой жидкости связаны друг с другом при помощи канонического преобразования. Теперь, однако, можно сказать больше: роль в уравнениях (7.9.10) показывает, что главная функция Гамильтона является производящей функцией того канонического преобразования, которое переводит движущуюся фазовую жидкость из одного состояния в другое, более позднее.

Заметим, что производящая функция зависящего от времени канонического преобразования есть нечто более общее, чем -функция Гамильтона, потому что зависящее от времени каноническое преобразование переводит произвольную точку фазового пространства в движущуюся точку в то время как преобразование Гамильтона переводит начальное положение движущейся частицы жидкости в какое-то более позднее положение

Во всех наших построениях координаты все время оставались на изоэнергетической поверхности Наши переменные, по сути дела, составляют -мерное многообразие, для которого не существует фазового

пространства вне изоэнергетической поверхности. [Напомним, что уравнение (6.10.27), связанное с принципом Якоби, имело смысл тождества, которому должны удовлетворять переменные Поэтому функция автоматически удовлетворяет уравнению в частных производных

То же самое можно сказать и о координатах начальной точки принадлежащей тому же самому многообразию. Следовательно, функция удовлетворяет также и второму уравнению в частных производных, полученному заменой на

Главная функция Гамильтона связана таким образом с двумя уравнениями в частных производных.

При заданной производящей функции уравнения канонического преобразования могут быть получены с помощью дифференцирований и исключений, что дает возможность выразить в явном виде координаты через Это означает, что мы получаем в явном виде траекторию С-точки, с началом в заданной точке пространства конфигураций. В этом и заключается выдающееся открытие Гамильтона. При заданной главной функции вся динамическая задача сводится к дифференцированиям и разрешению конечных уравнений.

Перейдем теперь к случаю наличия зависимости от времени, имея в виду как консервативные, так и неконсервативные системы. Процедура при этом в точности та же самая, что и в случае консервативных систем. Лишь время добавляется к позиционным координатам и рассматривается таким образом «обобщенное действие»

при дополнительном условии

Введем еще раз линейный элемент на этот раз для расширенного пространства конфигураций

но геометрия, введенная этим линейным элементом, уже не будет римановой. Соединим две точки -мерном пространстве кратчайшей линией и измерим длину дуги

этой линии. Таким образом, мы получаем какое-то определенное «расстояние» между двумя точками пространства, причем это расстояние снова оказывается функцией координат этих двух точек

Следовательно, мы построим тем самым главную функцию Гамильтона. Варьируя интеграл действия при произвольных граничных значениях, получаем соотношения

из которых видна каноническая природа преобразования. Уравнение в частных производных принимает вид

или, если выразить К через функцию Гамильтона

Функция должна удовлетворять этим двум уравнениям в частных производных.

Заметим, что ввиду наличия этих двух условий для последние два уравнения преобразования (7.9.18) следуют из предыдущих уравнений и могут быть опущены. В оставшихся уравнениях мы выражаем из второй группы уравнений и подставляем их в первую группу. Это дает уравнения преобразования

которые в явном виде решают задачу движения, определяя координаты движущейся точки в любой момент времени если задано начальное положение в момент 1.

Эта схема интегрирования Гамильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных

Второе дифференциальное уравнение больше не нужно, поскольку точка не должна лежать на обобщенной изоэнергетической поверхности Более того, является функцией только в то время, как главная функция Гамильтона зависит, кроме того, еще и от переменной 1.

В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют «дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби». Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. Замечательное открытие Гамильтона дало Якоби ключ к каноническим преобразованиям, что в свою очередь расширило рамки применимости метода самого Гамильтона. С помощью функции Якоби на которую наложено гораздо меньше условий, можно найти и гамильтонову -функцию. Но было бы практически невозможно найти -функцию непосредственно путем решения двух совместных уравнений в частных производных. Связь между этими двумя теориями будет обсуждаться более подробно в следующей главе.

Резюме. В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел «главную функцию», тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки.