Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9. Главная функция Гамильтона и движение фазовой жидкости.Результаты нашего обсуждения, естественно, имеют отношение к задаче интегрирования уравнений динамики. Нам уже известно соотношение между производящей функцией
При этом следует помнить, что
Получение этих формул равносильно полному интегрированию динамической задачи, потому что все механические переменные записаны в виде явных функций времени Следовательно, задача интегрирования сводится к задаче нахождения производящей функции для данной непрерывной последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Если эту задачу решить, то остальное получается при помощи дифференцирований и разрешения конечных уравнений. Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там «характеристической функцией»; эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз «главной функцией». Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида; она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждений Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа Вернемся к принципу наименьшего действия в формулировке Лагранжа, перейдя, однако, от
при том дополнительном условии, что С-точка в фазовом пространстве остается на поверхности постоянной энергии
Как мы знаем, тот же самый принцип можно выразить в форме Якоби. Требуется минимизировать интеграл
без каких бы то ни было дополнительных условий. Мы видели, что можно ввести риманов линейный элемент
с помощью которого принципу Якоби можно придать простой геометрический смысл: требуется определить кратчайшие (геодезические) линии в некотором римановом пространстве. Предположим, что мы нашли эти геодезические линии и вычислили вдоль них интеграл (7.9.5). При этом мы фактически получили длину дуги геодезической линии между двумя точками
Из предыдущего известно, что вариация интеграла А равна нулю при варьировании с фиксированными граничными значениями, и содержит только граничный член, если граничные значения варьируются (см. гл. VI, п. 8)
С другой стороны, функция
Сравнение последних двух уравнений приводит к следующим соотношениям:
Эти уравнения снова показывают, что два положения движущейся фазовой жидкости связаны друг с другом при помощи канонического преобразования. Теперь, однако, можно сказать больше: роль Заметим, что производящая функция Во всех наших построениях координаты пространства вне изоэнергетической поверхности. [Напомним, что уравнение (6.10.27), связанное с принципом Якоби, имело смысл тождества, которому должны удовлетворять переменные
То же самое можно сказать и о координатах начальной точки
Главная функция Гамильтона связана таким образом с двумя уравнениями в частных производных. При заданной производящей функции уравнения канонического преобразования могут быть получены с помощью дифференцирований и исключений, что дает возможность выразить в явном виде координаты Перейдем теперь к случаю наличия зависимости от времени, имея в виду как консервативные, так и неконсервативные системы. Процедура при этом в точности та же самая, что и в случае консервативных систем. Лишь время
при дополнительном условии
Введем еще раз линейный элемент
но геометрия, введенная этим линейным элементом, уже не будет римановой. Соединим две точки
этой линии. Таким образом, мы получаем какое-то определенное «расстояние» между двумя точками пространства, причем это расстояние снова оказывается функцией координат этих двух точек
Следовательно, мы построим тем самым главную функцию Гамильтона. Варьируя интеграл действия при произвольных граничных значениях, получаем соотношения
из которых видна каноническая природа преобразования. Уравнение в частных производных принимает вид
или, если выразить К через функцию Гамильтона
Функция Заметим, что ввиду наличия этих двух условий для
которые в явном виде решают задачу движения, определяя координаты Эта схема интегрирования Гамильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция
Второе дифференциальное уравнение больше не нужно, поскольку точка В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют «дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби». Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. Замечательное открытие Гамильтона дало Якоби ключ к каноническим преобразованиям, что в свою очередь расширило рамки применимости метода самого Гамильтона. С помощью функции Якоби Резюме. В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел «главную функцию», тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки.
|
1 |
Оглавление
|