7. Стационарное значение определенного интеграла.

Изучение движения аналитическими методами приводит к частному виду задачи на экстремум: нахождению стационарных значений определенного интеграла. Ветвь математики, занимающаяся подобными проблемами, называется вариационным исчислением.

Рис. 2.

В качестве типичного примера рассмотрим задачу о брахистохроне (кривой быстрейшего спуска), впервые сформулированную и решенную Иоганном Бернулли (1696); это одна из первых вариационных задач. Требуется найти плоскую кривую, двигаясь вдоль которой (под действием силы тяжести) частица спустится от точки А до точки В за кратчайшее время. Пусть искомая кривая аналитически выражается уравнением

Тогда время, минимум которого нас интересует, будет представлено в виде следующего определенного интеграла:

Здесь у — неизвестная функция которую нужно найти. Среди всех возможных мы должны найти такую которая даст наименьшее возможное значение Функция у должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь непрерывную производную. Кроме того, поскольку оба конца неизвестной кривой заданы, функция у должна удовлетворять следующим граничным условиям:

Имеется одна и только одна функция, удовлетворяющая этим условиям.

Задача, с которой мы здесь столкнулись, может быть сформулирована в более общем виде следующим образом. Задана функция трех переменных

(в приведенном выше примере не зависит от но это ограничение несущественно); задан определенный интеграл

заданы, наконец, граничные условия

Требуется найти функцию

удовлетворяющую обычным условиям регулярности, для которой интеграл принимает экстремальное или, по крайней мере, стационарное значение.

На первый взгляд эта задача совершенно отлична от предыдущих задач, где мы имели дело с экстремумом или со стационарным значением функции от нескольких переменных. Здесь должна быть минимизирована не функция, а определенный интеграл, вместо системы переменных мы имеем неизвестную функцию Более детальное изучение, однако, показывает, что по своей

математической природе эта новая задача несущественно отличается от предыдущей.

Используем понятие «функционального пространства», предложенное Гильбертом. Произвольная функция удовлетворяющая некоторым общим условиям непрерывности, может быть разложена в бесконечный ряд Фурье в заданном интервале от a до b:

где

Коэффициенты этого разложения определяются однозначно. Тогда любой функции можно поставить в соответствие определенную совокупность коэффициентов при условии что выбрано достаточно большим, так чтобы остаток разложения был достаточно малым. Примем эти коэффициенты за прямоугольные координаты точки в -мерном пространстве. При этом произвольная функция изобразится некоторой точкой этого многомерного пространства; значение интеграла соответствующее функции можно отложить на перпендикуляре к прежнему пространству, увеличив на единицу число измерений. Мы, таким образом, вновь приходим к картине поверхности в многомерном пространстве. Малому изменению функции отвечает малое перемещение точки Задача нахождения функции которая минимизирует определенный интеграл сводится к задаче нахождения наинизшей точки на некоторой поверхности в пространстве измерений. Это в точности та же задача, которую мы рассматривали в предыдущих пунктах данной главы.

Эйлер показал, что эту задачу можно решить элементарными средствами, не прибегая к специальным методам. Мы используем тот факт, что определенный интеграл можно заменить суммой с возрастающим числом членов. Кроме того, производную можно заменить отношением приращений функции и аргумента. Получающаяся при этих операциях ошибка может быть сделана сколь угодно малой.

В соответствии с обычной схемой разделим интервал от до на большое число малых равных интервалов; мы получим некоторое множество значений абсцисс

и соответствующее множество ординат

где

После этого заменим производную отношением приращении

а интеграл (2.7.5) — суммой

Ошибка, возникающая в результате таких замен, стремится к нулю, когда все интервалы стремятся к нулю.

Мы заменяем первоначальный интеграл суммой (2.7.13) и ищем стационарное значение этой суммы. Это уже задача обычного типа: задана функция переменных (вместо фигурировавших раньше переменных Мы знаем, что задача решается приравниванием нулю частных производных по . В заключение придется лишь исследовать переход

Перед тем как приступить к выполнению этой программы, изменим несколько выражение (2.7.13); при предельном переходе это изменение, конечно, не должно отразиться на значении предела. Так как различаются сколь угодно мало, можно заменить на Теперь интересующая нас функция будет выглядеть следующим образом:

При образовании частной производной по одной из переменных, например, следует иметь в виду, что появляется в сумме в двух соседних членах при Это видно из определения в (2.7.12). Частная производная по будет поэтому иметь вид

После деления на соответствующее уравнение можно записать в виде

Здесь записаны необходимые и достаточные условия стационарности суммы Важно отметить, что две крайние ординаты заданы и не варьируются. Если бы и они были неизвестны, то нам бы потребовалось в дополнение к уравнениям (2.7.16) еще два граничных условия.

В пределе, при стремящемся к нулю, разностное уравнение (2.7.16) переходит в дифференциальное уравнение. Так как точки могут быть выбраны сколь угодно близкими к любой точке интервала наше дифференциальное уравнение будет справедливо во всем интервале

Это фундаментальное уравнение было открыто независимо Эйлером и Лагранжем и обычно называется дифференциальным уравнением Эйлера — Лагранжа. Заметим, что оно было выведено элементарными средствами из условия стационарности суммы, заменяющей данный определенный интеграл.

Этот метод вывода основного дифференциального уравнения вариационного исчисления, предложенный Эйлером, не совсем строг, так как он использует двойной предельный переход в не вполне допустимой форме. Прямой вывод Лагранжа, который мы изложим ниже, свободен от этого недостатка.

Резюме. Задача минимизации определенного интеграла, содержащего неизвестную функцию и ее производную, может быть сведена к элементарной задаче минимизации функции многих переменных. Для этого интеграл заменяется суммой, а производная — отношением приращений. Условия, при выполнении которых первая вариация обращается в нуль, принимают форму разностного уравнения, которое в пределе переходит в дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа.