2. Точечные преобразования Лагранжа.

В лагранжевой механике позиционными координатами являются величины Уравнения движения Лагранжа остаются инвариантными по отношению к произвольным точечным преобразованиям этих координат. В гамильтоновой механике мы снова встречаемся с задачей Лагранжа, но уже при наличии переменных Пространством конфигураций гамильтоновой механики является -мерное фазовое пространство. На первый взгляд может показаться, что в нашем распоряжении

имеются теперь произвольные точечные преобразования фазового пространства. Это означало бы, что координат могут преобразовываться в какие-либо новые при помощи любых функциональных соотношений. Дело обстоит, однако, не так. Канонические уравнения

порождаются некой весьма специальной лагранжевой задачей, а именно задачей с функцией Лагранжа, приведенной к каноническому виду

Произвольное точечное преобразование, переводящее могло бы нарушить нормальную форму канонического интеграла, а вместе с ней и канонические уравнения. Мы должны ограничиться, таким образом, преобразованиями, которые сохраняют каноническую форму этих уравнений. Последнее гарантируется в том случае, если варьируемое подинтегральное выражение имеет вид (7.2.2). Любое преобразование, оставляющее инвариантным каноническое подинтегральное выражение (7.2.2), оставляет инвариантными также и канонические уравнения (7.2.1).

Перед тем как исследовать полную группу канонических преобразований, изучим некоторые частные случаи. Лагранжевы точечные преобразования являются весьма частным случаем гораздо более широкой группы канонических преобразований.

В дальнейшем везде при обсуждении преобразований мы будем придерживаться удобных обозначений, введенных Уиттекером в книге «Аналитическая динамика» (см. библиографию). Преобразованные переменные будем обозначать соответствующими большими буквами .

Поскольку переменными в лагранжевой механике являются одни произвольное точечное преобразование лагранжевой механики имеет вид

Из вида подинтегрального выражения (7.2.2) ясно, что канонические уравнения заведомо сохранятся, если, преобразуя одновременно потребовать инвариантности дифференциальной формы

Если этот принцип справедлив в случае произвольных бесконечно малых изменений мы можем заменить канонический интеграл

соответствующим интегралом

Отсюда видно, что канонические уравнения сохраняются и что функция Гамильтона в новой системе координат, после того как выразятся через новые переменные будет иметь тот же вид, что и функция в старой системе. Можно сказать, что функция Гамильтона инвариантна относительно точечного преобразования (7.2.3).

Ниже мы увидим, что инвариантность дифференциальной формы (7.2.4) не является обязательным свойством, присущим каждому каноническому преобразованию. Преобразования, удовлетворяющие этому условию, образуют лишь подгруппу в полной группе канонических преобразований. Даже внутри этой подгруппы формулы (7.2.3) выделяют весьма узкую группу преобразований, отличающуюся тем

свойством, что в соотношения между совсем не входят ни ни Соответствующие преобразования для величин следуют из принципа инвариантности (7.2.4). Из формул (7.2.3) имеем

Вводя эти выражения в (7.2.4) и приравнивая коэффициенты при в левой и правой частях уравнения (7.2.4), получаем выражения для преобразования в явном виде — в форме линейных уравнений. Эти уравнения могут быть разрешены относительно при условии, что якобиан преобразования (7.2.3) отличен от нуля.

Нужно, однако, показать, что введенное преобразование величин действительно эквивалентно точечному преобразованию Лагранжа. Формулы (7.2.3) устанавливают эту эквивалентность в части, касающейся переменных следует также доказать, что преобразование импульсов, основанное на принципе инвариантности (7.2.4), согласуется с соответствующим преобразованием в механике Лагранжа.

Как известно, импульсы вводятся в гамильтоновой механике с помощью определения

Соответственно, после введения новых переменных функцию Лагранжа мы должны аналогично определить и новые импульсы

Функция Лагранжа есть инвариант этого преобразования, но являются «ковариантными» величинами, связанными между собой по определенному правилу. Будем считать функцией одних только забыв на некоторое время о наличии переменных которые как бы останутся постоянными. Тогда принцип инвариантности дает для произвольных вариаций и соответствующих вариаций

Отсюда следует

Теперь из дифференцирования уравнений (7.2.3) по времемени

видно, что преобразование от является линейным, причем в точности таким же, как и преобразование (7.2.7), связывающее с По этой причине принцип инвариантности (7.2.11) остается справедливым и при замене на

Это и есть, однако, тот самый принцип инвариантности (7.2.4), с которого мы начинали. Мы установили таким образом, что преобразование импульсов, связанное с лагранжевым точечным преобразованием, может быть получено из принципа инвариантности (7.2.4).

Задача 1. Записать кинетическую энергию произвольной частицы в прямоугольных координатах и в сферических координатах Ввести соответствующие импульсы на основе правил лагранжевой механики и определить связывающие их соотношения. Показать, что эти же самые соотношения могут быть получены из принципа инвариантности

Точечное преобразование (7.2.3) было «склерономным», так как оно не включало время Для того чтобы обобщить наши рассуждения на реономный случай, наиболее естественно добавить время к остальным механическим переменным и рассматривать задачу в -мерном «расширенном фазовом пространстве», которое связано с параметрической формой канонических уравнений (см. гл. VI, п. 10). В этом случае точечное преобразование (7.2.3) автоматически включает в себя время поскольку мы

теперь имеем точечное преобразование от старых переменных к новым переменным . Принцип инвариантности (7.2.4) принимает вид

Более того, инвариантом преобразования является теперь не функция Гамильтона а обобщенная функция Гамильтона К. Как было показано в гл. VI, п. 10, эта функция находится в следующем соотношении с обычной функцией Гамильтона

поэтому инвариантность К приводит к соотношению

где через обозначена функция Гамильтона, получившаяся после преобразования. Следовательно,

откуда следует, что в общем случае реономного преобразования функция Гамильтона уже не является инвариантом.

Наиболее часто встречаются реономные преобразования, вводящие движущиеся системы отсчета, но не преобразующие при этом самого времени. Преобразования такого типа характеризуются уравнениями

Введем эти соотношения в принцип инвариантности (7.2.14) варьируя только время . В результате получим

откуда

Поскольку должна быть выражена через новые переменные из второго члена в правой части (7.2.20) следует исключить записав их как функции Отметим, что этот член линеен относительно импульсов и является источником появления «гироскопических членов» в .

Задача 2. Рассмотреть движение одной частицы, переходя от прямоугольных координат во вращающуюся систему отсчета

Показать, что преобразование функции Гамильтона приводит к появлению во вращающейся системе отсчета фиктивных силы Кориолиса и центробежной силы.

Резюме. Канонические уравнения инвариантны относительно точечного преобразования Лагранжа. Преобразование импульсов происходит с учетом инвариантности дифференциальной формы. Функция Гамильтона является инвариантом преобразования, если новая система координат покоится относительно старой. В противном случае функция Гамильтона изменяется за счет гироскопических членов.