3. Преобразования Матье и Ли.

В предыдущем пункте было показано, что инвариантность дифференциальной формы (7.2.4) приводит к инвариантности канонических уравнений. Инвариантность дифференциальной формы (7.2.4) может быть получена, однако, и в том случае, если не требовать выполнения (7.2.3). Эти более общие преобразования, известные уже Якоби, были изучены французским математиком Матье (в 1874 г.). Поэтому их иногда называют

«преобразованиями Матье». Софус Ли широко использовал эти же самые преобразования в своих работах, касающихся геометрических методов решения дифференциальных уравнений. Он назвал их «контактными преобразованиями».

Ли определял контактное преобразование из того требования, чтобы дифференциальная форма

была пропорциональна преобразованной дифференциальной форме

Если считать просто переменной то это условие можно записать в однородной форме

при этом оно становится эквивалентным преобразованию Матье в пространстве измерений.

Вместо точечного преобразования, связывавшего без помощи мы имеем более общее функциональное соотношение между координатами за счет того, что импульсы могут теперь входить в соотношения между позиционными координатами. Единственным условием является принцип инвариантности

Внимательное изучение этого условия показывает, что не могут быть совершенно независимыми. Иначе бы получился абсурдный результат, что все должны обратиться в нуль. Поэтому существует по крайней мере одно функциональное соотношение

между в которое не должны входить ни ни . В случае точечного преобразования имеются таких соотношений. Можно классифицировать преобразования Матье по числу независимых соотношений, существующих между -переменными без участия р-переменных. Наименьшее число — 1, наибольшее Эти соотношения могут быть заданы произвольно. Таким образом, преобразования Матье характеризуются следующей системой дополнительных условий, которые нужно добавить к принципу (7.3.4):

Здесь Если достигает своего наибольшего значения то получается наиболее ограниченная форма преобразований Матье. Мы возвращаемся тогда к рассмотренному ранее случаю точечного преобразования, потому что мы можем исключить все выразив их через и получить таким образом соотношения (7.2.3).

Для того чтобы практически произвести преобразования от старых координат к новым, нужно из представить как функции остальных а затем представить вариации этих в условие (7.3.4). Однако, не желая нарушать симметрии соотношений (7.3.6), применяют метод неопределенных множителей Лагранжа, рассматривая уравнения (7.3.6) как заданные дополнительные условия при варьировании. Это приводит к выражению.

где теперь уже все могут варьироваться произвольным образом. В результате получаем общие формулы для произвольного преобразования Матье в следующем виде:

где Эти уравнения вместе с данными дополнительными условиями (7.3.6) полностью определяют преобразования, хотя и в неявном виде. Можно исключить из уравнений (7.3.8), получив соотношений между старыми и новыми переменными. Вместе с дополнительными условиями (7.3.6) они и задают преобразование. Путем соответствующих алгебраических операций старые могут быть выражены через новые и наоборот.

Все дальнейшие рассуждения будут аналогичны рассуждениям предыдущего пункта. Инвариантность дифференциальной формы гарантирует инвариантность канонических уравнений и снова функция Гамильтона оказывается инвариантом преобразования. Более того, мы снова можем включить время в число позиционных координат в качестве дополнительной переменной, перейдя к параметрической форме канонических уравнений. В результате получим реономную форму преобразований Матье, характеризуемую инвариантностью дифференциальной формы

с дополнительными условиями

К уравнениям (7.3.8) добавляется сейчас еще одно уравнение

Мы снова имеем дело с расширенным фазовым пространством, в котором обобщенная функция Гамильтона К инвариантна относительно преобразования. Это приводит к соотношению

откуда

Здесь мы опять сталкиваемся с тем фактом, что функция Гамильтона инвариантна лишь относительно склерономных преобразований, в то время как в реономном случае появляются дополнительные корректирующие члены.

Задача. Предположим, что и что дополнительные условия (7.3.6) заданы в явном виде (7.2.18). Показать, что преобразование функции Гамильтона в соответствии с (7.3.13) приводит к тому же результату, что и формула (7.2.20) предыдущего пункта.

Резюме. Преобразования Матье определяются требованием инвариантности дифференциальной формы Для выполнения этого требования должно существовать по крайней мере одно соотношение между не содержащее Преобразования Матье могут быть классифицированы по числу соотношений, существующих между которые могут быть заданы заранее. Минимальное число соотношений равно 1, а максимальное Последний случай соответствует рассматривавшимся ранее точечным преобразованиям, которые составляют, таким образом, особую подгруппу преобразований Матье.