13. Неголономные условия.

Метод неопределенных множителей Лагранжа применим и в том случае, когда дополнительные условия вариационной задачи заданы в виде не алгебраических, а дифференциальных соотношений (ср. гл. I, п. 6, и гл. II, п. 6). Мы снова получаем уравнения (2.12.5) с той только разницей, что заменены коэффициентами неголономных условий (2.6.1). Различие имеется лишь в вопросе о начальных условиях. Координаты теперь не связаны какими бы то ни было условиями, связи наложены только на их дифференциалы. Поэтому начальные

значения всех можно задать произвольно. Скорости, однако, связаны некоторыми условиями в соответствии с уравнениями

Мы можем поэтому произвольно задать начальных координат и начальных скоростей.

Имеющиеся уравнений (2.13.1) служат не только для исключения начальных скоростей. С их помощью определяются коэффициенты которые входят в "уравнения движения как неопределенные множители.

Особого внимания требуют неголономные дополнительные условия, которые являются одновременно реономными, т. е. зависящими от времени. Необходимо выяснить, какие соотношения будут существовать между если варьирование осуществляется не мгновенно, а за бесконечно малое время . Дополнительные условия при этом имеют вид

где коэффициенты и — некоторые функции от Величины не входят в уравнения движения, так как виртуальные перемещения происходят без варьирования времени; они, однако, входят в соотношения между скоростями

Резюме. Вариационную задачу с неголономными дополнительными условиями нельзя привести к такому виду, чтобы решение получилось путем приравнивания к нулю вариации какой-то определенной величины. Однако уравнения движения можно получить при помощи метода неопределенных множителей так же, как и в случае голономных условий.