2. Уравнения движения Лагранжа и их инвариантность относительно точечных преобразований.

При выводе принципа наименьшего действия были использованы прямоугольные координаты. Однако на механическую систему могут быть наложены связи; если эти связи голономны, то 3N прямоугольных координат системы могут быть выражены

через обобщенных координат подобно тому как это было сделано в (1.2.8) и (1.8.3) Тогда и потенциальная, и кинетическая энергии становятся функциями обобщенных координат и обобщенных скоростей Движение системы может быть теперь изображено при помощи одной С-точки в -мерном пространстве конфигураций Можно, однако, сделать еще один шаг по пути геометризации динамики, приняв время за дополнительное измерение и оперируя с -мерным «расширенным пространством конфигураций», содержащим обобщенные координаты и время в качестве независимых переменных . В этом пространстве последовательные фазы движения изображаются последовательными точками кривой. Эта кривая, «мировая линия» С-точки, содержит в геометрической форме всю физическую историю данной механической системы.

Теперь варьирование положения системы в произвольный момент времени между выглядит как варьирование С-кривой, т. е. мировой линии механической системы. Так как положения системы в моменты времени заданы (так же, как и сами моменты времени. варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Это означает, что варьированная кривая С имеет те же самые концевые точки Время не играет какой-либо особой роли в этом представлении и даже не обязательно должно рассматриваться как аргумент. Можно с равным успехом записать кривую С в параметрической форме, задав все и время как функции некоторого параметра

Необходимые и достаточные условия стационарности интеграла действия (5.1.11) имеют вид (см. гл. II)

Следует особо отметить тот замечательный факт, что задача минимизации определенного интеграла совершенно не зависит от какой-либо особой системы отсчета. Пусть первоначальная система координат при помощи точечного преобразования (1.4.3) заменена другой системой координат.

Это точечное преобразование можно представить как отображение -мерного -пространства самого на себя (см. гл. I, п. 4). Кривая -пространства переходит в некоторую новую кривую С. Варьированная кривая С переходит в соответствующую вариацию кривой С. Если при этом вариация в -пространстве производится при фиксированных граничных значениях, то и в -пространстве получится вариация с фиксированными граничными значениями (рис. 5).

Рис. 5.

Обращение в нуль вариации интеграла А требует обращения в нуль вариации и в том случае, когда она записана в новых координатах. Следовательно, дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа остаются справедливыми и в новой системе отсчета. Функция Лагранжа и интеграл действия А являются инвариантами преобразования. Мы просто подставляем в них вместо координат их выражения через новые переменные Вид функции в результате замены переменных, возможно, изменится, но ее численное значение останется прежним. Аналогично остаются неизменными значения интеграла действия А, взятого вдоль кривой С и затем вдоль кривой С. Каждое отдельное уравнение Лагранжа, с каким-либо определенным

значением индекса не переходит в соответствующее уравнение в новых переменных. Однако полная система уравнений переходит в соответствующую систему в новых переменных потому что полная система уравнений Лагранжа отражает факт обращения в нуль вариации интеграла действия А, а этот факт не зависит от какой-либо конкретной системы координат.

Поскольку является просто еще одной переменной, наши рассуждения остаются в силе и в том случае, когда соотношения между старыми и новыми зависят от времени (см. гл. I, п. 8). Это имеет место, когда механические явления описываются в движущейся системе отсчета. Уравнения движения Лагранжа остаются справедливыми и в произвольным образом движущейся системе отсчета.

Инвариантность уравнений Лагранжа относительно произвольных точечных преобразований обусловила выдающуюся роль этих уравнений в развитии математической мысли. Эти уравнения оказались первым примером того «принципа инвариантности», который являлся одной из ведущих идей математики XIX столетия и который приобрел значение первостепенной важности в современной физике.

Инвариантность уравнений движения Лагранжа является одним из наиболее важных их свойств. Она позволяет использовать координаты, соответствующие особенностям задачи. Поскольку не существует общего метода решения уравнений Лагранжа, то лучшее, что можно сделать, это выбрать такую систему координат, в которой эти уравнения были бы, хотя бы частично, интегрируемы.

Вторым большим преимуществом принципа наименьшего действия по сравнению с принципом Даламбера является использование одной скалярной функции Теперь уже не нужно находить ускорения для каждой частицы и виртуальную работу, совершаемую всеми силами инерции. Скалярная функция определяет собой всю динамику заданной системы.

Задача 1. Пусть положение физического маятника определяется углом между плоскостью, проходящей через ось подвеса и центр масс, и вертикалью. Показать, что

где I — момент инерции относительно оси подвеса, и что

где масса маятника, а расстояние от центра масс до оси подвеса.

Записать уравнение движения Лагранжа и проинтегрировать его в предположении, что угол мал.

Задача 2. Опишем положение планеты с помощью полярных координат Показать, что

в предположении, что Солнце неподвижно и находится в начале координат. Составить уравнения движения Лагранжа.

Задача 3. Записав положение сферического маятника длины I в сферических координатах показать, что

Составить уравнения движения Лагранжа.

Две основные функции соответствуют двум величинам, которые приравниваются друг другу в уравнении Ньютона: «Произведение массы на ускорение равно силе». Это уравнение может быть интерпретировано как баланс между силой инерции и движущей силой. Подобный баланс может быть установлен и при аналитическом подходе путем разделения членов с двумя основными скалярами аналитической механики: кинетической энергией и силовой функцией Уравнения Лагранжа можно записать в виде

Теперь величин

представляют собой компонент силы инерции в пространстве конфигураций, а величин

— соответственно компонент движущей силы.

Обычно первый член в (5.2.4) выпадает из-за того, что является функцией только от координат Более того, заменяется на Однако нет никаких внутренних причин для того, чтобы исключить возможность зависимости силовой функции от скоростей . В релятивистской механике такая возможность осуществляется: электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу, может быть получена из силовой функции, зависящей от скорости.

Резюме. Принцип Гамильтона приводит к системе дифференциальных уравнений второго порядка — уравнениям движения Лагранжа. Эти уравнения обладают замечательным свойством инвариантности относительно произвольных преобразований координат.