3. Вторая вариация.
Вернемся к бесконечно малому изменению функции, связанному с виртуальной вариацией координат. Записав вариации координат снова в форме (2.2.4), мы должны оценить величину
Рассматривая эту величину как функцию параметра 
и разлагая ее в ряд по 
получаем
Если в некоторой точке функция 
имеет стационарное значение, то первая сумма обращается в нуль и разложение 
начинается с членов второго порядка. При достаточно малом 
можно пренебречь членами высших порядков и написать
где
Это выражение называется «второй вариацией» 
Пусть 
оказывается положительной при любом выборе косинусов 
- (любом, но, конечно, при условии, что сумма их квадратов равна 1). Это означает, что 
возрастает во всех направлениях от 
и мы имеем в этой точке действительный минимум. Если же 
отрицательна при любых выбранных значениях 
то 
уменьшается во всех направлениях от 
и осуществляется максимум. Если 
положительна для одних направлений и отрицательна для других, то в данной точке нет экстремума. Таким образом, знак второй вариации позволяет установить наличие экстремума. Запишем уравнение
и попытаемся найти удовлетворяющие ему действительные значения 
это возможно, то 
может изменить знак и экстремума не существует. Если же, наоборот не существует действительных решений уравнения (2.3.5) для 
то 
не может изменить знак и потому имеется экстремум. (Чтобы определить, максимум это или минимум, следует вычислить 
при каких-нибудь произвольных значениях 
определить таким образом ее знак.)
Вторую вариацию функции мы рассмотрим более подробно при обсуждении вопросов малых колебаний вблизи положения равновесия (см. гл. V, п. 10). Там мы найдем более точные критерии для различения максимума и минимума. Здесь следует, однако, отметить, что иногда исследование второй вариации является излишним, потому что наличие, скажем, минимума может быть известно заранее из самого характера задачи. Пусть, например, мы ищем минимум функции, состоящей только из положительных членов. Тогда заранее ясно, что эта функция должна иметь где-то наименьшее значение. Поэтому если условия существования стационарного значения выполняются лишь в одной точке, то эта точка и будет точкой минимума (см. гл. IV, п. 8).
Резюме. При выполнении условия существования стационарного значения дальнейшие критерии наличия экстремума связаны со знаком второй вариации. Для существования экстремума достаточно, чтобы знак второй вариации сохранялся при всех возможных бесконечно малых виртуальных перемещениях; положительный знак при этом соответствует минимуму, а отрицательный — максимуму. Если вторая вариация положительна для одних перемещений и отрицательна для других, то в стационарной точке функция не имеет экстремума.
