5. Дополнительные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

Задача нахождения минимума функции не всегда задается в той форме, о которой говорилось выше. Число измерений пространства конфигураций, в котором движется точка может оказаться меньшим, чем из-за наличия каких-то определенных кинематических соотношений между координатами. Подобные кинематические условия называются «дополнительными условиями» соответствующей вариационной задачи. Если такие условия не наложены и переменные могут меняться без ограничений, то мы имеем «свободную» вариационную задачу, которая рассматривалась выше (пп. 1—3).

Исследуем теперь вариации функции

с дополнительным условием

Естественно сначала исключить одну из переменных — например, при помощи дополнительного условия, выразив ее через остальные Тогда мы получим функцию переменных которую можно уже исследовать методами свободной вариационной задачи. Этот способ вполне оправдывает себя, а иногда оказывается и наиболее простым. Однако очень часто исключение переменных является чрезвычайно обременительной задачей. Кроме того, условие (2.5.2) может быть симметричным относительно переменных тогда, вообще говоря, нет никаких оснований искусственно выделять одну из переменных в качестве зависимой, выражая ее через остальные как через независимые переменные.

Лагранж предложил прекрасный метод решения задач с дополнительными условиями, так называемый «метод неопределенных множителей», который, не прибегая к исключению некоторых переменных, сохраняет их симметрию и тем не менее сводит задачу к задаче о свободной вариации. Этот метод очень общий. Он применим при любом количестве дополнительных условий и даже в случае неголономных условий, заданных в виде неинтегрируемых соотношений между дифференциалами переменных.

Чтобы уяснить смысл метода множителей Лагранжа, начнем с единственного дополнительного условия, заданного в виде (2.5.2). Варьируя это уравнение, мы получаем следующее соотношение между

в то время как обращение в нуль вариации функции в стационарной точке дает

Из п. 3 нам известно, что в случае, когда всебц, независимы, условие (2.5.4) должно приводить к обращению в нуль всех Здесь, однако, этот случай не имеет места из-за условия (2.5.3). Нам придется выразить через другие вариации в точке предполагается отличной от нуля), а затем рассматривать остальные как свободные

вариации. Однако предварительно преобразуем (2.5.4). Умножим левую часть (2.5.3) на некоторый неопределенный множитель , являющийся функцией и прибавим полученное произведение к При этом, естественно, величина не изменится, так как мы прибавили нуль. Поэтому справедливо равенство

Эта операция не тривиальна, так как хотя мы и прибавили нуль, но мы в действительности прибавили сумму; нулю равна вся сумма, но не отдельные ее члены. Запишем (2.5.5) в виде

Теперь вместо исключения мы можем выбрать X таким образом, чтобы обратился в нуль множитель при

После этого в нашей сумме осталось всего членов

Так как остались только те которые могут быть выбраны произвольно, то теперь применимы условия свободной вариационной задачи. Поэтому коэффициенты при всех должны равняться нулю:

Из формул (2.5.7) и (2.5.9) видно, что все коэффициенты в сумме (2.5.6) обращаются в нуль, как если бы все вариации были свободными. В результате идея «метода неопределенных множителей» Лагранжа может быть сформулирована следующим образом: вместо изучения условий обращения в нуль вариации можно рассматривать обращение в нуль выражения

и опустить дополнительное условие, оперируя со всеми как со свободными, независимыми переменными.

Так как произведение обращается в нуль из-за дополнительного условия справедливо равенство

Поэтому результат наших рассуждений можно выразить в еще более компактной форме: вместо того, чтобы приравнивать нулю первую вариацию заменяем функцию на

и приравниваем нулю первую вариацию при произвольных вариациях

Обобщим этот метод на случай произвольного числа дополнительных условий. Пусть надо определить стационарное значение функции при независимых ограничивающих условиях

Эти дополнительные условия приводят к следующим соотношениям между вариациями :

Из-за этих условий вариаций могут рассматриваться как зависимые и быть выражены через остальные вариации. Мы будем считать зависимыми последние из вариаций а первые соответственно независимыми.

Рассматриваемая вариационная задача требует обращения в нуль вариации

при всех возможных вариациях удовлетворяющих заданным дополнительным условиям. Мы должны были бы выразить последние вариаций через остальные вариации. Однако сначала преобразуем выражение (2.5.15), добавив левые части каждого из уравнений (2.5.14), умноженные предварительно на некоторые неопределенные множители В результате получим

Теперь исключение последних вариаций может быть произведено путем подбора множителей К так, чтобы

Тогда от равенства (2.5.16) остается

Все оставшиеся в (2.5.18) вариации — свободные, и коэффициенты при них должны обратиться в нуль. В конечном счете мы получаем систему уравнений

которые можно рассматривать как следствие вариационного условия

в предположении, что все вариации независимы. Таким образом, в конечном счете разница между зависимыми и независимыми переменными исчезла.

Уравнение (2.5.20) можно записать даже в более замечательном виде

и интерпретировать его следующим образом: вместо того, чтобы отыскивать стационарное значение функций мы можем искать стационарное значение другой функции

опуская дополнительные условия и оперируя по правилам свободной вариационной задачи. Это дает уравнений. Кроме того, мы должны удовлетворить дополнительным условиям (2.5.13). Всего получается уравнений неизвестными

Этот замечательный метод множителей Лагранжа заменяет задачу с степенями свободы задачей степенями свободы. Если к переменным добавить еще величин в качестве дополнительных переменных и после этого искать стационарное значение функции то коэффициенты при вариациях дадутте же самые уравнений, которые мы имели раньше, а коэффициенты при вариациях дадут дополнительно уравнений

Эти уравнения представляют собой не что иное, как заданные ранее дополнительные условия. Теперь мы их получили a posteriori из решения вариационной задачи.

Метод Лагранжа позволяет использовать дополнительные координаты, что очень часто по многим соображениям механики оказывается удобным. Он сохраняет полную симметрию всех координат, так как делает ненужным деление переменных на зависимые и независимые.

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель Я. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители К.