4. Циклические (игнорируемые) координаты и их исключение.

Выше уже упоминалось о том, что общего метода интегрирования уравнений Лагранжа не существует. Однако иногда оказывается возможным произвести частичное их интегрирование. Особенно важным примером такого положения является случай «циклических» или «игнорируемых» переменных.

Функция Лагранжа вообще говоря, зависит от всех координат и скоростей Однако может случиться, что некоторые не входят в функцию Лагранжа, хотя соответствующие в ней имеются. На особую важность подобных переменных для интегрирования уравнений Лагранжа впервые обратил внимание Раус, а затем несколько позже Гельмгольц 2. Раус назвал эти переменные «отсутствующими координатами», а Дж. Дж. Томсон употреблял названия «киностенические» или «скоростные координаты». Гельмгольц те же самые координаты называл «циклическими переменными», а в курсе Уиттекера (см. библиографию) используется название «игнорируемые координаты» 3.

Как указывалось выше, после введения «импульсов» в соответствии с определением (5.3.4) уравнения Лагранжа могут быть записаны в следующей форме:

Если циклическая координата, то

и (5.4.1) может быть сразу же проинтегрировано

Импульс, соответствующий циклической координате, остается постоянным в процессе движения. Эта важная теорема имеет много физических приложений.

Задача 1. Рассмотреть задачу о движении планет, сформулированную раньше в задаче 2, п. 2. Показать, что постоянство циклического импульса есть не что иное, как закон Кеплера о площадях.

Задача 2. Рассмотреть подобным же образом задачу о сферическом маятнике задача 3); дать интерпретацию постоянству циклического импульса.

Поскольку отсутствует в частной производной в ней присутствует, из (5.4.3) можно выразить через нециклические координаты и скорости. Для упрощения изложения ограничимся случаем одной циклической координаты; обобщение на случай любого их количества является очевидным.

Поставим индексы при координатах с таким расчетом, чтобы циклической оказалась последняя координата так что

отсюда

Теперь в уравнениях Лагранжа можно везде заменить выражением (5.4.5); само же в уравнениях отсутствует. Таким образом, задача интегрирования уравнений Лагранжа может быть сведена к задаче с одними лишь нециклическими координатами. После решения этой последней, когда уже известные функции их можно подставить в (5.4.5) и с помощью интегрирования определить

Поскольку циклические переменные столь легко исключаются после написания уравнений движения Лагранжа, то возникает естественный вопрос, нельзя ли произвести их исключение до написания уравнений еще при постановке самой вариационной задачи. Как известно, первая вариация интеграла

обращается в нуль для произвольных вариаций при фиксированных граничных значениях. Исключив с помощью (5.4.5), мы с самого начала сведем задачу от степеням свободы и тем самым сразу существенно упростим имеющуюся вариационную задачу. Следует, однако, иметь в виду, что соотношение (5.4.5) выражает как функцию нециклических переменных лишь в том случае, если мы считаем соотношение (5.4.4) выполняющимся не только для действительного, но и для варьированного движения. Вообще говоря, это ограничение возможностей варьирования мало существенно, потому что вариация А обращается в нуль при произвольных вариациях всех Однако условие, что вариация должна обращаться в нуль на концах интервала, теперь нарушается, потому что получается из (5.4.5) при помощи однократного интегрирования. Поэтому из уравнения (5.3.3) мы имеем

Напомним, что циклический импульс постоянен вдоль всей С-кривой. Поэтому можно написать

в результате чего (5.4.7) переходит в равенство

Положим

и назовем «видоизмененной функцией Лагранжа». Результат наших рассуждений может быть теперь сформулирован следующим образом: задача минимизации интеграла действия А, содержащего циклическую координату может быть сведена к минимизации видоизменного интеграла действия

не содержащего циклической координаты путем исключения при помощи первого интеграла

Процесс исключения циклической переменной может быть разбит на три стадии.

1. Выписывается уравнение для циклического импульса

2. Данная функция Лагранжа преобразуется к виду

3. Путем решения уравнения относительно и подстановки в циклическая скорость исключается из Новая функция Лагранжа уже не зависит от циклической переменной и первоначальная вариационная задача с степенями свободы сводится к новой вариационной задаче с степенями свободы.

Подобным же образом следует действовать и в том случае, когда рассматриваемая задача содержит более чем одну циклическую координату. Видоизмененная функция Лагранжа тогда записывается в виде

где суммирование распространяется на все циклические координаты.

Задача 3. Применить общий метод уменьшения числа степеней свободы к рассматривавшейся ранее задаче о движении планет (см. п. 2, задача 2), исключив 6. В результате получается задача с одной степенью свободы, которая может быть решена при помощи теоремы о сохранении энергии.

Задача 4. Рассмотреть таким же образом задачу о сферическом маятнике (см. п. 2, задача 3).

Задача 5. Рассмотреть случай, когда сами координаты входят в функцию Лагранжа, а скорости — нет. Показать, что такие переменные могут быть исключены алгебраически при помощи уравнения

без видоизменения функции Лагранжа

Исключение циклической переменной имеет интересные следствия для полученной в результате этого исключения задачи. Кинетическая энергия первоначальной системы может быть записана следующим образом [см. (5.3.13)]:

где мы выделили циклическую скорость из остальных скоростей. Циклический импульс запишем теперь в виде

а для видоизмененной функции Лагранжа получим 1

Процесс пока не закончен, так как нужно еще исключить с помощью (5.4.14). Проделав это, мы получаем, во-первых, член в

вообще не зависящий от скоростей. Во-вторых, получаем членов, линейных относительно нециклических скоростей.

Член (5.4.16) ведет себя подобно некой фиктивной потенциальной энергии и может быть объединен с V

Остальные члены имеют необычную природу. Их можно, вообще говоря, считать частью кинетической энергии но вместо того, чтобы быть квадратичными, они линейны по скоростям. Такие члены в функции Лагранжа называются

«гироскопическими», потому что именно они обусловливают парадоксальное поведение гироскопа. Сила Кориолиса во вращающейся системе координат и магнитная сила, связанная с электрическими токами, дают нам другие примеры гироскопических членов в функции Лагранжа.

Появление или отсутствие гироскопических членов зависит от коэффициентов связывающих циклические и нециклические скорости. Если не все обращаются в нуль, то говорят, что существует «кинетическое взаимодействие» между циклическими и недиклическими скоростями. Если же все обращаются в нуль, то взаимодействия нет и получающаяся задача свободна от гироскопических членов.

Пример. В задаче Кеплера исключение приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии вида Это означает наличие фиктивной отталкивающей силы, пропорциональной в то время как сила притяжения пропорциональна Эти две силы уравновешивают друг друга в некоторой точке, являющейся точкой устойчивого равновесия. Осцилляциямн вблизи этой точки объясняются пульсации радиуса-вектора между перигелием и афелием. Если бы сила притяжения уменьшалась как или быстрее, то устойчивого равновесия между этими двумя силами не существовало бы и радиус-вектор не мог бы колебаться между конечными пределами. Траектории движения планет были бы либо гиперболического типа, либо типа спиралей, приближающихся к Солнцу — в зависимости от величины константы углового момента. (Кинетическое взаимодействие здесь равно нулю.)

Резюме. Если некоторые координаты не входят в функцию Лагранжа, в то время как соответствующие скорости в нее входят, то такие координаты называются циклическими. Импульс, соответствующий циклической координате, остается постоянным в процессе движения. Циклические координаты могут быть исключены из функции Лагранжа путем ее соответствующего видоизменения. Исключение приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии. Кроме того, может появиться фиктивная кинетическая энергия, не квадратичная, а линейная относительно скоростей.