7. Теорема Лиувилля.

Физическая жидкость иногда под действием достаточно больших сил испытывает изменение объема. Если же в процессе движения произвольный объем жидкости остается неизменным, то мы говорим о «несжимаемой жидкости». Аналитически несжимаемость жидкости можно описать двумя способами. В описании с помощью частиц (6.5.2) условием несжимаемости является тождественное равенство единице «функционального детерминанта» от по . В описании с помощью поля (6.5.4) условие несжимаемости выглядит так:

Фазовая жидкость, связанная с каноническими уравнениями, обладает тем интересным свойством, что она имитирует

поведение несжимаемой жидкости. Поскольку жидкость имеет измерений, то естественным обобщением уравнения (6.7.1) является

Из канонических уравнений (6.6.1) непосредственно следует, что это соотношение выполняется, причем не только для консервативных, но и для произвольных систем. Напомним теперь, что теорема Грина, переводящая объемный интеграл от дивергенции в интеграл, определяющий поток через поверхность, применима в случае измерений в такой же степени, как и в случае трех измерений. Ввиду наличия такого преобразования уравнение для дивергенции (6.7.2) равносильно утверждению, что полный поток фазовой жидкости через любую замкнутую поверхность в фазовом пространстве всегда равен нулю. Это в свою очередь означает, что фазовая жидкость движется подобно несжимаемой жидкости. Эта теорема была впервые сформулирована Лиувиллем (1838) и поэтому называется «теоремой Лиубилля».

Теорема Лиувилля позволяет добавить к закону сохранения энергии еще один закон сохранения. Выделим произвольную -мерную область фазового пространства с объемом

и посмотрим, что происходит с точками этого объема при движении фазовой жидкости. Хотя форма области может искажаться, ее объем в процессе движения остается неизменным

Пример. Для механической системы лишь с одной степенью свободы фазовое пространство становится двумерным, а пространство состояний — трехмерным. Поэтому в этом простом случае поведение фазовой жидкости можно изобразить особенно наглядно при помощи нашего обычного пространства. «Энергетические поверхности» в этом случае сводятся к кривым, причем эти кривые определяют непосредственно линии тока двумерной фазовой жидкости. Более того, хотя картина линий тока является статической и не содержит скоростей, с которыми частицы жидкости движутся вдоль линий тока, эти скорости можно получить из расстояний между соседними

линиями тока, воспользовавшись несжимаемостью фазовой жидкости.

Задана. Два следующих рисунка соответствуют таким двум задачам.

1. Линейный осциллятор

2. Движение частицы между двумя твердыми стенками с упругими отражениями от стенок.

Дать анализ рис. 6 и 7. Линиями тока в первой задаче являются эллипсы, а во второй — прямоугольники.

Пусть потенциальная энергия задается выражением

где меняется от 1 до Показать, что по мере увеличения эллипсы осциллятора становятся все более выпуклыми, приближаясь к прямоугольникам. Для получается распределение линий тока, соответствующее упругому отражению. Винтовая линия рис. 6, б деформируется в ломаную, изображенную на рис. 7, б. «Стенки» при этом расположены в точках

Резюме. Фазовая жидкость в -мерном пространстве ведет себя подобно несжимаемой жидкости. Произвольная область, вырезанная из жидкости и движущаяся вместе с ней, меняет в процессе движения свою форму, но сохраняет свой объем.