10. Параметрическая форма канонических уравнений.

Раньше было показано, что введение понятия «пространства состояний» полностью геометризует задачу о движении, связанную с каноническими уравнениями. Множество всех решений системы канонических уравнений можно изобразить с помощью некоторого бесконечного семейства непересекающихся кривых, заполняющих пространство состояний.

Характерной чертой пространства состояний является то, что оно имеет нечетное число измерений. Всем позиционным координатам соответствуют их импульсы а время выделено как обособленная переменная, не связанная ни с каким импульсом. Причина заключается в том, что время не является механической переменной, а играет роль независимой переменной.

Иногда оказывается чрезвычайно выгодным превратить время в механическую переменную. Вместо того чтобы считать позиционные координаты функциями времени координаты и время рассматриваются как функции некоторого произвольного параметра Лагранж в подобных случаях считал, что пространство конфигураций для одной частицы превращается из пространства трех в пространство четырех измерений. В релятивистской механике этот переход абсолютно необходим, так как пространство и время объединяются там в один четырехмерный континуум Эйнштейна-Минковского.

Теперь встает вопрос о том, как в этом случае сформулировать канонические уравнения движения Гамильтона. Первоначальная задача Лагранжа превращается в задачу о нахождении как функций аргумента Поэтому пространство конфигураций Лагранжа имеет теперь измерение, и можно включить в число позиционных координат, положив

Однако соответствующее фазовое пространство должно теперь иметь измерений, поскольку имеется пара канонических переменных.

где просто другие обозначения переменных Импульс соответствующий времени t [таким «импульсом» является полная энергия, взятая с обратным знаком, — см. гл. V, п. 6 (5.6.2)], добавляется к другим переменным в качестве еще одной независимой переменной, снова увеличивая число измерений уже по сравнению с «пространством состояний». Это новое пространство мы будем называть «расширенным фазовым пространством». Прежний интеграл Лагранжа в параметрической форме [см. гл. V, п. 6 (5.6.1)] переходит в

Можно заранее сказать, что обычный стандартный метод не подходит для параметрического случая, потому что канонические уравнения определяют переменные как некоторые конкретные функции независимой переменной — в данном случае в то время как в действительности произвольная переменная и свобода ее выбора должна как-то отразиться в решении.

И действительно, функция Гамильтона расширенной задачи тождественно обращается в нуль. Это можно увидеть, рассмотрев функцию Лагранжа

Функция является линейной формой относительно переменных Следовательно, согласно теореме Эйлера об однородных функциях,

откуда видно, что

Итак, канонический интеграл сводится к совершенно симметричной форме

без какой бы то ни было функции Гамильтона. Ясно, однако, что место функции должно занять что-то другое, так как при полном отсутствии гамильтоновой функции все обратились бы в константы, что невозможно.

Действительно, существует нечто, заменяющее функцию Гамильтона. Этим заменителем оказывается дополнительное условие, связывающее которое обязательно должно существовать. Нетрудно видеть, что уравнения

не могут быть разрешены относительно . В противном случае мы получили бы определенную совокупность отвечающую совокупности тогда как в действительности не изменяются при умножении всех на один и тот же множитель а. Из того, что уравнения (6.10.7) неразрешимы относительно следует, что они не являются взаимно независимыми. Отсюда в свою очередь следует, что должно существовать какое-то тождественное соотношение между (это тождество содержит в качестве параметров и поэтому оно фактически является соотношением между

Действительно, выделив последнюю переменную получим для связанного с ней импульса

В результате наша вариационная задача принимает следующий вид: интеграл

должен принять стационарное значение при дополнительном условии

Подставив в интеграл (6.10.9) вместо его значение , получим обычную форму канонического интеграла

при условии, что вместо параметра мы вновь в качестве независимой переменной возьмем .

Однако нет необходимости выделять переменную лучше записать тождество, которое должно существовать между в более общей форме

В этой форме сохраняется симметрия канонических переменных и ни одной из них не отдается предпочтение.

Задача 1. Пусть дан интеграл действия из принципа Якоби

Показать, что связанные с этим подинтегральным выражением, удовлетворяют следующему тождеству:

где — коэффициенты матрицы, обратной исходной матрице .

Задача Гамильтона, отвечающая параметрической форме задачи Лагранжа, принимает, наконец, следующий вид. Отыскивается условие стационарности интеграла (6.10.9) при дополнительном условии (6.10.12). Условие (6.10.12) можно учесть методом неопределенных множителей

Лагранжа, видоизменив заданный интеграл следующим образом:

Здесь — некоторая произвольная функция в полном соответствии с произвольностью самого . В настоящей задаче «неопределенный множитель Лагранжа» действительно остается неопределенным. При желании мы можем положить за счет соответствующего выбора переменной Тогда получим вариационный интеграл

имеющий в точности каноническую форму, за тем лишь исключением, что наша «расширенная» задача имеет вместо канонических переменных. Функция К — левая часть дополнительного условия - заняла место функции Гамильтона поэтому мы будем называть К «обобщенной функцией Гамильтона».

Таким образом, в параметрической форме канонические уравнения имеют вид

В частном случае, когда

получим

Уравнение (6.10.18) показывает, что нормированный таким образом параметр совпадает с со временем Уравнения (6.10.17) при этом являются обычными каноническими уравнениями. Последнее из уравнений системы [уравнение (6.10.19)] определяет закон, по которому изменяется со временем полная энергия (см. гл. V, п. 3). Оно включено теперь в параметрическую систему уравнений в качестве независимого уравнения, поскольку одна из независимых переменных.

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени в одну из механических переменных любая система становится консервативной. «Обобщенная функция Гамильтона» К не зависит явно от независимой переменной и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности

Поэтому если начальные значения при значении равном выбраны в соответствии с условием то это условие выполняется в течение всего времени движения.

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла

при дополнительном условии

Согласно принципу, выраженному каноническими уравнениями в параметрической форме, требуется стационарность интеграла

при дополнительном условии

Заметим, что этот принцип сразу же переходит в принцип Эйлера — Лагранжа, когда система консервативна и когда К задается в виде Поскольку последняя переменная является теперь циклической, импульс может быть заменен на и последний член в подинтегральном выражении в (6.10.23) можно опустить.

Параметрическая форма канонических уравнений позволяет также глубже понять внутренние соотношения, связывающие различные принципы минимума в механике. Если канонический интеграл приведен к нормальной форме

то разница между различными принципами соответствует различным интерпретациям дополнительного условия

Как было установлено в задаче 1 настоящего пункта, дополнительное условие принципа Якоби принимает вид

То же самое условие можно, очевидно, задать в форме

что соответствует дополнительному условию принципа Эйлера — Лагранжа. Таким образом, непосредственно установлена эквивалентность этих двух принципов. Более того, если учесть дополнительное условие (6.10.28) с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, вернувшись при этом от фазового пространства к пространству конфигураций, то мы получим принцип Гамильтона. Отсюда видна эквивалентность всех трех принципов для консервативных систем. Время играющее роль параметра, интерпретируется как частный вид переменной при котором неопределенный множитель X превращается в 1.

Интересно посмотреть, что произойдет, если применить метод неопределенных множителей, оставив дополнительное условие в форме (6.10.27). Вернувшись снова от фазового пространства к пространству конфигураций, получим принцип, в котором стационарное значение принимает интеграл

Это есть принцип Якоби, хотя и без обычного квадратного корня. Траектории, получаемые из интеграла (6.10.29), тем не менее те же самые, что и из принципа Якоби. Разница заключается лишь в выборе независимой переменной . В обычной формулировке принципа Якоби произвольный параметр; в принципе же выбрано определенным образом.

Задача 2. Принцип (6.10.29) приводит к следующей интересной теореме эквивалентности. Рассмотрим движение частицы с массой меняющейся по закону

где а — константа. Эта частица переменной массы, двигаясь под действием собственной инерции, без какого бы то ни было внешнего поля сил, описывает ту же самую траекторию, что и частица постоянной массы в потенциальном поле V, при условии что масса начинает свое движение в том же направлении, что и масса и что ее полная энергия Доказать справедливость этой теоремы, написав уравнения движения Лагранжа. Эквивалентность сохраняется лишь для траекторий, но не для движения во времени.

Резюме. Путем добавления времени к другим механическим переменным в качестве позиционной координаты достигается замечательная симметризация канонического интеграла. Канонический интеграл принимает вид

и ищется его стационарное значение при дополнительном условии

При этом фазовое пространство имеет измерений, движение фазовой жидкости является всегда установившимся, а механическая система всегда консервативна. Особые свойства консервативных систем распространяются таким образом на произвольные системы. Эта параметрическая формулировка канонических уравнений с теоретической точки зрения обладает рядом преимуществ.