9. Коммутативные свойства операции варьирования.

Вариация функции приводит к совершенно новой функции Можно взять производную от этой функции. С другой стороны, можно взять также производные функции Их разность естественно назвать вариацией производной . В одном случае мы имеем «производную от вариации»

В другом — «вариацию от производной»

Из (2.9.1) и (2.9.2) следует, что

т. е. производная от вариации равна вариации от производной.

Подобным же образом можно ввести вариацию определенного интеграла. Это означает, что берется разность между определенными интегралами, вычисленными при измененном и при первоначальном значениях подинтегрального выражения

Следовательно,

т.е. вариация от определенного интеграла равна определенному интегралу от вариации.

Резюме. Операция варьирования обладает двумя характерными свойствами.

а) варьирование и дифференцирование можно менять местами;

б) варьирование и интегрирование можно менять местами.