8. Движение фазовой жидкости как непрерывное выполнение канонических преобразований.

Результаты предыдущего пункта пролили новый свет на природу уравнений динамики. Если разделить левые и правые части уравнений (7.7.12) на а затем устремить к нулю, то в пределе мы получим дифференциальные уравнения

Это — не что иное, как канонические уравнения движения, если переменный параметр отождествить со временем, а функцию В с функцией Гамильтона Чтобы лучше понять получившийся результат, представим себе, что мы следим за движением фазовой жидкости в течение некоторого интервала времени Предположим, что частицы жидкости помечены, так что можно определять положение каждой из них. В какой-то момент времени сделаем моментальный снимок движущейся жидкости; затем в момент второй моментальный снимок. Все частицы жидкости сдвинулись со своих прежних мест, но их перемещения бесконечно

малы. Эти бесконечно малые перемещения определяют некоторое каноническое преобразование в фазовом пространстве. Процесс может быть повторен много раз. Все движение фазовой жидкости есть не что иное, как непрерывное выполнение канонических преобразований.

Этот поразительный результат был впервые получен Гамильтоном, хотя и в несколько другой интерпретации. Он по-новому освещает роль канонических преобразований при изучении движения. Все движение механической системы может рассматриваться как задача о преобразованиях. Последовательные положения фазовой жидкости представляют собой непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя. Это отображение все время каноническое.

Можно сказать даже нечто большее. Последовательные преобразования фазовой жидкости связаны друг с другом. В конце предыдущего пункта мы пришли к функции Гамильтона начав с произвольной производящей функции содержащей параметр Однако теперь можно проделать обратный путь. Имеющаяся задача о движении дает нам функцию Гамильтона зависящую от возможно, Заменим на и попытаемся найти первоначальную функцию из которой возникло уравнение

А это уже задача интегрирования. Первая задача была проще, потому что она не требовала ничего, кроме дифференцирования и исключения переменных. Новая задача гораздо более трудная, и она будет подробно рассматриваться в следующей главе. Можно показать, что для каждой заданной функции может быть найдена соответствующая функция более того, существует бесконечное множество возможных функций Построенная таким образом -функция

порождает бесконечное семейство канонических преобразований. Точка преобразуется в точку положение которой непрерывно меняется со временем причем для выбранных при изменении это движение

в точности отражает движение механической системы. Движение же всей фазовой жидкости есть не что иное, как постепенная эволюция зависящего от времени канонического преобразования.

Эта новая точка зрения отражает в новом свете также и смысл инвариантов движения. Эти инварианты являются в действительности инвариантами произвольного канонического преобразования. Инвариантность циркуляции, обсуждавшаяся в гл. VI, п. 8, является характерным свойством канонических преобразований. Более того, она даже определяет эти преобразования. Теорема Лиувилля (см. гл. VI, п. 7) доказывает инвариантность объема, основанную на несжимаемости фазовой жидкости. Эту теорему можно сформулировать в таком виде: значение якобиана (функционального детерминанта) преобразования, которое связывает два состояния движения, соответствующие двум произвольным моментам времени, всегда равно 1. Это тоже является общим свойством канонических преобразований. Значение якобиана произвольного канонического преобразования равно 1.

Задача. Записать якобиан некоторого канонического преобразования и умножить его самого на себя. Показать, что Для исключения возможности требуются дальнейшие рассуждения, однако для движения фазовой жидкости выбор следует из непрерывности движения.

Резюме. Произвольная функция, зависящая от времени, порождает бесконечное семейство канонических преобразований. Последовательные стадии этого преобразования могут рассматриваться как непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя, что в свою очередь может быть интерпретировано как движение некоторой жидкости. Это движение удовлетворяет каноническим уравнениям, что приводит, таким образом, к совершенно новой интерпретации этих уравнений. Движение фазовой жидкости можно представить как последовательные стадии бесконечного семейства непрерывных канонических преобразований.