10. Малые колебания около положения равновесия.

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степеней свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными.

Упрощения, возникающие при решении этой задачи, связаны с фактом малости колебаний. Как известно, пространство конфигураций имеет не евклидову, а риманову геометрию. Известно также, что искривленное риманово пространство по мере уменьшения размеров области все более приближается к плоскому. Это свойство риманова

пространства находит свое аналитическое выражение в том, что линейный элемент

в котором являются функциями в непосредственной окрестности точки может быть заменен локальным линейным элементом с постоянными коэффициентами. Коэффициенты меняются в этой окрестности столь незначительно, что они могут быть заменены их значениями в точке

Пусть точка являющаяся одновременно С-точкой, изображающей положение механической системы в пространстве конфигураций, соответствует положению равновесия. Поместим ее для простоты в начале координат, записав ее координаты в виде Будем теперь считать линейный элемент (5.10.1) с постоянными соответствующими точке справедливым во всем пространстве. Пространство, получившееся в результате этой операции, является евклидовым, а допущенная нами ошибка стремится к нулю по мере приближения к точке

В новом пространстве являются уже не криволинейными, а прямолинейными координатами. Нам понадобятся несколько основных фактов, касающихся аналитической природы таких координат. Начнем с того, что в нашем неискривленном пространстве не только дифференциальная форма (5.10.1), но и конечная форма

имеет простой геометрический смысл. Она задает расстояние от начала координат до точки

Пусть мы находимся в -мерном евклидовом пространстве с линейно независимыми базисными векторами

произвольной длины и ориентации; независимость этих лекторов означает, что ни один из и не представляет собой винейной комбинации остальных базисных векторов.

Радиус-вектор точки этого пространства можно теперь записать в виде

Образовав скалярное произведение вектора самого на себя, получим

Сравнение с (5.10.2) показывает, что коэффициенты щи линейного элемента равны

В частном случае прямоугольных координат в качестве выбираются взаимно перпендикулярные векторы единичной длины. Тогда

и квадрат расстояния принимает обычную пифагорову форму

Мы намеренно не накладываем каких-либо специальных условий на базисные векторы, чтобы оперировать с произвольной прямолинейной системой координат. Однако мы должны потребовать, чтобы евклидово пространство было «реальным», т. е. чтобы расстояние между несовпадающими точками в нем не могло равняться нулю. Для этого нужно, чтобы квадратичная форма (5.10.2) была «положительно определенной», т. е. принимала положительные значения при произвольных значениях кроме тривиального случая когда

В пространстве конфигураций это условие действительно выполняется, потому что кинетическая энергия, определяющая линейный элемент (5.10.1), а с ним и расстояние (5.10.2), никогда не может стать отрицательной. Даже значение нуль для нее возможно лишь в случае, когда все обращаются в нуль. Это гарантирует положительную определенность выражения (5.10.2).

Рассмотрим теперь две различные точки а с ними и два вектора

и

Образуем скалярное произведение этих двух векторов

Заметим, что обращение в нуль суммы (5.10.11) означает взаимную ортогональность векторов

Сделав эти общие замечания, касающиеся аналитической геометрии -мерного евклидова пространства, перейдем теперь к изучению потенциальной энергии механической системы. Разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности начала координат

Предположим теперь, что начало координат нашей системы отсчета является положением равновесия. Следовательно, функция V должна иметь в этой точке стационарное значение (см. гл. II, п. 2 и гл. III, п. 1). Поэтому линейные члены разложения (5.10.12) выпадают. Поскольку аддитивная постоянная в потенциальной энергии несущественна, то можно считать, что разложение начинается с членов второго порядка. Дальнейшие члены не нужны, потому что уже членами третьего порядка можно пренебречь при достаточно малых Следовательно, можно написать

где

Рассмотрим теперь уравнение т. е.

Геометрически это уравнение определяет поверхность в -мерном пространстве. Можно сказать более определенно, что оно определяет какую-то поверхность второго порядка; для наглядности можно представить себе эллипсоид или гиперболоид в обычном трехмерном пространстве, но не следует забывать при этом о разнице в числе измерений. Следует отметить, что аналитическую геометрию поверхностей второго порядка можно строить с равным успехом при любом числе измерений. Теория таких поверхностей очень важна почти во всех разделах математической физики. Строгое математическое обоснование теории упругости, акустики и волновой механики может быть сформулировано при помощи аналитической геометрии таких поверхностей в пространстве с бесконечно большим числом измерений.

В механике мы сталкиваемся с этой теорией в связи с колебаниями механических систем около положения равновесия. Из обычной аналитической геометрии известно, что изучение поверхностей второго порядка сильно облегчается, если оси системы координат совпадают с определенными осями симметрии, например с тремя взаимно перпендикулярными «главными осями» эллипсоида или гиперболоида.

Если уравнение задано относительно других осей, то следует найти главные оси и повернуть систему отсчета в новое положение. В физике это «приведение к главным осям» очень важно, потому что большая часть аналитических задач обычно решается лишь после выполнения этого преобразования.

Покажем теперь, как тесно связана задача о малых колебаниях механических систем около положения равновесия с определением главных осей для потенциальной энергии Главные оси поверхности второго порядка обладают определенными экстремальными свойствами. Их можно найти, отыскивая на поверхности те точки, для которых расстояния от начала координат имеют стационарные значения. Поэтому задача состоит в нахождении стационарного значения квадратичной формы

при дополнительном условии, что мы движемся по поверхности

Это обычная алгебраическая экстремальная задача с дополнительным условием, и решается она методом -множи-телей. Оставим в стороне дополнительное условие (5.10.17) и минимизируем функцию

Здесь мы заменили неопределенный множитель X на что более удобно для наших целей.

Легко видеть, что вместо минимизации функции (5.10.18) можно с равным успехом минимизировать функцию

Это приводит к следующей формулировке нашей экстремальной задачи. Найти стационарное значение функции

при дополнительном условии

Условие (5.10.21) означает, что мы находимся на сфере радиуса 1. В каждой точке этой сферы потенциальная энергия V имеет определенное значение. Требуется найти те особые точки на поверхности сферы единичного радиуса, для которых потенциальная энергия V имеет стационарное значение.

Условие стационарности функции дается следующими линейными уравнениями:

Эти однородные линейные уравнения относительно имеют ненулевые решения лишь при условии, что детерминант

системы равен нулю. Мы получаем таким образом фундаментальное детерминантное условие, называемое «характеристическим уравнением», из которого можно определить «характеристические значения»

Это алгебраическое уравнение степени относительно X должно иметь корней, среди которых возможны и комплексные. Обозначим эти корней через

Среди корней могут оказаться кратные. Мы считаем такой случай вырожденным и будем устранять вырождение путем сколь угодно малого изменения коэффициентов и При этом кратные корни разделяются, а затем, уже после исследования, можно выполнить предельный переход. Поэтому можно исключить случай кратных корней и считать, что все различны.

Для каждого можно найти соответствующее решение системы линейных уравнений (5.10.22). Решение находится с точностью до произвольного множителя, общего для всех этот множитель, однако, однозначно определяется (с точностью до знака) из дополнительного условия (5.10.21).

Значения соответствующие некоторому могут рассматриваться как компоненты вектора единичной длины. Назовем этот вектор «главной осью» поверхности (5.10.17). Существует таких главных осей

соответствующих характеристическим значениям (5.10.24).

Эти главные оси обладают рядом характерных свойств, которые мы сейчас кратко перечислим.

1. Корни характеристического уравнения инвариантны относительно произвольных линейных преобразований координат Умножив уравнения (5.10.22) соответственно на и затем сложив их все, получим справа

произведение ввиду дополнительного условия (5.10.21), а слева величину Это приводит к соотношению

Следовательно, произвольное линейное преобразование координат не изменяющее значений потенциальной энергии V, оставляет неизменным также и значения . В то время как главных осей определяют направления, в которых потенциальная энергия достигает своих стационарных значений, корни определяют сами эти значения согласно равенству

2. Все корни являются действительными, и потому главные оси — это действительных векторов в -мерном евклидовом пространстве. Корни алгебраического уравнения степени являются, вообще говоря, комплексными; то обстоятельство, что они оказываются действительными для характеристического уравнения (5.10.23), обусловлено симметрией элементов детермината

Для доказательства этой важной теоремы поступим следующим образом. Предположим, что некоторый корень является комплексным, и решим линейные уравнения (5.10.22) при этом значении Я. В качестве получаются некоторые комплексные числа. Как известно, любое алгебраическое соотношение между комплексными числами остается справедливым при замене на Следовательно, мы можем выписать уравнения (5.10.22), заменив на а на где звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины. Умножим первую систему уравнений последовательно на а вторую — на и составим в каждом из этих случаев сумму уравнений. В левых частях уравнений мы получим в обоих случаях одинаковые суммы, а сравнение правых частей приведет к соотношению

После замены на где — действительные числа, и при учете (5.10.28) равенство (5.10.29) переходите

где действительные расстояния в -мерном евклидовом пространстве, не равные одновременно нулю. Следовательно,

т. е. X должны быть действительными.

3. Главные оси взаимно перпендикулярны и потому образуют ортогональную систему координат в -мерном пространстве. Это фундаментальное свойство главных осей поверхности второго порядка может быть доказано при помощи того же соотношения (5.10.29), которое мы раньше использовали для доказательства действительности корней Теперь его следует лишь по-иному интерпретировать. Предположим, что два различных характеристических корня, определяют соответственно две главные оси, соответствующие этим двум . В этом случае первый сомножитель в (5.10.29) не может обратиться в нуль, потому что различны. Следовательно, в нуль должен обратиться второй сомножитель. Это дает

В соответствии с (5.10.11) это уравнение в векторной форме выглядит следующим образом:

Это означает, что две главные оси а значит, и любые ортогональны между собой.

Из упомянутых основных свойств векторов видно, что главных осей могут быть выбраны в качестве осей новой прямоугольной системы координат. Аналитически это преобразование выполняется следующим образом. Обозначим решение полученное в задаче о главных осях при определенном через

Расположим эти решения в последовательных столбцах в соответствии с такой схемой

Теперь произведем линейное преобразование

Здесь прямоугольные координаты некоторой точки которая в старой системе имела прямолинейные координаты

Упрощение, возникающее в результате такого преобразования, довольно очевидно. Расстояние от начала координат до точки имеет теперь пифагорову форму

потому что мы оперируем с обычными прямоугольными декартовыми координатами. Следовательно, квадратичная форма общего вида (5.10.2) переходит в чисто диагональную форму.

Посмотрим, что произойдет с потенциальной энергией V в результате такого преобразования. На первых порах можно только сказать, что она должна стать некоторой квадратичной формой новых переменных с новыми коэффициентами

Теперь, однако, следует решить задачу о главных осях еще раз, уже в новой системе отсчета. При этом получаются уравнения

с дополнительным условием

В качестве X в уравнении (5.10.38) могут быть последовательно взяты прежних значений поскольку инвариантны относительно произведенного преобразования. Более того, решение задачи о главных осях в новой системе отсчета тривиально, поскольку главные оси совпадают с координатными осями. Решение, соответствующее имеет вид

Подставив эти значения в уравнения (5.10.38), получим

Отсюда следует, что потенциальная энергия V в новой системе отсчета имеет вид

Мы получили замечательный результат: в новой системе отсчета диагональную форму принимает не только квадрат расстояния но и потенциальная энергия Одним линейным преобразованием координат можно одновременно привести к диагональному виду две квадратичные формы, из которых одна положительно определенная (в остальном эти формы произвольны).

В задачах механики подобное преобразование приводит к значительному упрощению выражений для потенциальной и кинетической энергий. Выражение для кинетической энергии в новой системе принимает вид

в то время как потенциальная энергия равна

Уравнения движения Лагранжа выглядят теперь следующим образом:

Переменные в этих дифференциальных уравнениях полностью разделены, и уравнения легко интегрируются. Это дифференциальные уравнения простого гармонического колебания, и они имеют решения

где произвольные константы интегрирования.

Задача. Дан двойной маятник, состоящий из двух математических маятников одинаковой длины и массы, второй из которых подвешен к грузу первого. В качестве координат взяты два бесконечно малых угла и между нитями и вертикалью.

1. Записать выражения для кинетической и потенциальной энергий системы.

2. Записав линейный элемент, показать, что две оси косоугольной системы координат расположены под углом 45° друг к другу.

3. Показать, что главные оси направлены по биссектрисам угла между и дополнительного угла.

4. Показать, что частоты, связанные с двумя главными осями, равны

где собственная частота каждого из математических маятников.

Следует рассмотреть две принципиально различные возможности. Мы уже знаем, что всегда действительны. Однако мы не можем гарантировать, что они всегда положительны. В общем случае часть из них может быть положительна, а часть — отрицательна. Предположим, что все положительны. В этом случае из решения (5.10.46) видно, что С-точка колеблется вблизи положения

равновесия Движение состоит из суперпозиции монохроматических колебаний с частотами

и с малыми, но постоянными амплитудами и произвольными начальными фазами. Эти колебания происходят в направлениях взаимно перпендикулярных главных осей Суперпозиция всех этих колебаний образует «фигуры Лиссажу» в -мерном пространстве конфигураций. Из-за взаимной ортогональности эти колебания называются «нормальными колебаниями». Их число всегда равно числу степеней свободы механической системы. Частоты меняются при переходе от одной главной оси к другой, что дает основание говорить о «спектре» нормальных колебаний.

Замечательным примером колебаний механической системы вблизи положения равновесия является случай твердого тела, молекулы которого расположены вблизи положения равновесия, но находятся в состоянии непрерывных беспорядочных колебаний в связи с тепловым движением. Все эти колебания могут быть аналитически изображены одной С-точкой, помещенной в -мерном евклидовом пространстве, где число молекул, составляющих твердое тело. Движение С-точки можно представить в виде гармонических колебаний определенных частот вдоль взаимно перпендикулярных осей. Каждой степени свободы отвечает одна ось. Спектр этих колебаний простирается от очень низких упругих и акустических частот вплоть до очень высоких инфракрасных частот. Распределение амплитуд и фаз определяется статистическими законами и является функцией абсолютной температуры

Предположим теперь, что по крайней мере один из характеристических корней например, корень отрицателен. Положив в этом случае

получим решение последнего из уравнений Лагранжа в виде

Это решение уже не периодическое, а экспоненциальное. Достаточно малейшего толчка вдоль оси для того, чтобы привести С-точку в состояние движения, которое, не являясь уже колебательным, начнет уводить ее все дальше и дальше от положения равновесия.

Таким образом, изучение малых колебаний вблизи положения равновесия приводит нас к заключению, что следует

различать два типа равновесия, физически глубоко различных. Первый случай реализуется, когда все корни характеристического уравнения положительны. Равновесие тогда называется «устойчивым», так как малые возмущения не выводят систему из положения равновесия, а лишь вызывают колебания вблизи этого положения. Второй случай реализуется, когда по крайней мере один из характеристических корней отрицателен. Тогда достаточно малейшего возмущения, чтобы вывести систему из первоначального положения равновесия. Это означает, что равновесие, даже если оно и достигается в какой-то момент, не может поддерживаться в течение длительного времени. Равновесие такого типа называется неустойчивым. В промежуточном случае, когда среди корней нет отрицательных, но один из корней равен нулю, говорят о «нейтральном» равновесии.

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации координат вблизи положения равновесия Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется «второй вариацией» функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X,- положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой; это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво.

Вопросы устойчивости необычайно важны в некоторых задачах теории упругости. Тонкие оболочки при слишком большой нагрузке внезапно выгибаются. Выгибание происходит не путем постепенного преодоления сил упругости, а «хлопком». Явление «хлопка» означает, что при определенной нагрузке устойчивое равновесие оболочки сменяется неустойчивым. Решение задачи о «хлопкё» автоматически

приводит к исследованию второй вариации потенциальной энергии в точке, где равно нулю. Если можно найти характеристические значения то знаки этих сразу же решают вопрос об устойчивости равновесия. Пока наименьшее из положительно, оболочка устойчива; если же наименьшее отрицательно, то оболочка неустойчива. Критическая нагрузка соответствует случаю, когда наименьшее из обращается в нуль.

Часто бывает очень сложно найти характеристический спектр второй вариации, и более приемлемым оказывается другой путь решения задачи. Вторая вариация минимизируется и определяется ее знак в минимуме. При положительном знаке равновесие устойчиво, в противном случае — неустойчиво. Условие «хлопка» получается приравниванием минимального значения к нулю.

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых «нормальными», произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения.