4. Преобразования Лоренца.

Преобразование (9.2.9) является частным случаем более широкой группы преобразований, которые исторически не очень заслуженно называются «преобразованиями Лоренца». Они характеризуются произвольными четырехмерными поворотами евклидова пространства четырех измерений с координатами Можно обойтись и без мнимых величин. Для этого следует определить преобразования Лоренца как группу линейных преобразований четырех действительных величин, (х, у, z, t), оставляющих инвариантной квадратичную форму

Хотя в то время, когда Гамильтон создавал свою теорию кватернионов, идея о четырехмерной вселенной была еще не известна, его кватернионы исключительно удобны

для изучения общих свойств произвольного преобразования Лоренца. Кватернион Гамильтона определяется как гиперкомплексное число вида

в котором четвертая компонента («временная часть» кватерниона) алгебраически ведет себя как простое число (скаляр), а гиперкомплексные единицы к подчиняются следующим правилам:

Умножение в общем случае не коммутативно но обладает свойством ассоциативности. За исключением коммутативного свойства умножения, все остальные правила обычной алгебры сохраняются, в том числе и невозможность деления на нуль. Введем «сопряженный» кватернион

Тогда сумма , а также и

являются простыми скалярами, коммутирующими с любым кватернионом. Имеет место также следующее соотношение:

Отсюда

Кватернион может быть интерпретирован как вектор в пространстве четырех измерений (-вектор). На языке кватернионов может быть записан ряд свойств электромагнитного поля (например, уравнения Максвелла). Однако

исчисление кватернионов особенно удобно для изучения преобразований Лоренца. Положим

и возьмем некоторый кватернион

удовлетворяющий условию

Тогда уравнение

выражает собой некоторое линейное преобразование координат, которое, согласно (9.4.7), удовлетворяет условию

Это означает, что длина вектора не меняется. Следовательно, преобразование (9.4.11) является некоторым поворотом четырехмерного евклидова пространства. То же самое справедливо для преобразования

если кватернион В тоже удовлетворяет условию

Ввиду наличия у поворотов групповых свойств произведение кватернионов

снова является поворотом в пространстве четырех измерений. Выбор двух кватернионов единичной длины допускает шесть степеней свободы в соответствии с шестью степенями свободы произвольного поворота (без отражения) в пространстве четырех измерений. Следовательно, (9.4.15) можно рассматривать как общее выражение для произвольного поворота в пространстве четырех измерений.

Предположим теперь, что кватернионы имеют комплексные коэффициенты. «Комплексно сопряженную»

величину мы будем обозначать при помощи звездочки. В пространстве Минковского вектор имеет действительную временную часть и мнимую пространственную часть. Это однозначным образом характеризуется свойством

Для того чтобы получить поворот четырехмерного пространства, имеющий физический смысл [т. е. такой, который бы оставлял инвариантной действительную величину (9.4.1)], необходимо и достаточно, чтобы условие (9.4.16) выполнялось и в новой системе отсчета

Это означает, что

или

Это условие будет выполнено, если мы выберем

Тогда и

Следовательно, произвольное (собственное) преобразование Лоренца, имеющее физический смысл, можно охарактеризовать произведением кватернионов

где восемь компонент комплексного кватерниона

удовлетворяют двум скалярным условиям

При А действительном и

Следовательно, преобразуется в

т. е. временная ось при таком преобразовании остается неизменной. Преобразование Лоренца в этом случае сводится к простому повороту обычного пространства. Такое представление произвольного поворота трехмерного пространства с помощью действительного кватерниона единичной длины было известно и использовалось еще Эйлером.

При обычном трехмерном повороте особый интерес представляет ось вращения, т. е. прямая линия, преобразующаяся сама в себя. Аналогично можно поставить вопрос о «главной оси» нашего преобразования, характеризующейся условием

где просто число (необязательно действительное), называемое «главным значением» матрицы, связанной с линейным преобразованием (9.4.21). Поскольку наше преобразование обладает тем свойством, что для всех значений радиуса-вектора

условие (9.4.22) для главной оси дает

откуда видно, что либо

либо

Условие (9.4.26) означает, что соответствующая главная ось лежит на нуль-конусе

Таким образом, главная ось лоренцова преобразования может существовать в реальном пространстве, несмотря на то что К отлично от ±1. В евклидовом пространстве этого не может быть. Действительно, в евклидовом пространстве с четным числом измерений не может существовать прямой линии, которая бы при повороте переходила сама в себя

в отличие от пространства с нечетным числом измерений, где должна существовать по крайней мере одна действительная ось вращения. Однако преобразование Лоренца всегда имеет две главные оси, принадлежащие действительному нуль-конусу (9.4.27), хотя величины X практически всегда отличны от единицы. В пределе эти две оси сливаются в одну. Остальные главные оси тоже находятся на нуль-конусе (9.4.27), но они соответствуют комплексным значениям координат.

Произвольное преобразование Лоренца мы будем выражать через его две действительные главные оси, которые будем для краткости называть «нуль-осями», поскольку они лежат на действительном нуль-конусе. Рассмотрим их как кватернионы и обозначим через . Из того, что они лежат на нуль-конусе, следует, что их длина равна нулю

Для того чтобы эти оси были действительными, требуется выполнение условия (9.4.16). Положим

где можно рассматривать как обычные трехмерные векторы либо как кватернионы со скалярной частью, равной нулю.

Из условия (9.4.28) следует

и аналогично

Пронормируем длины векторов так, чтобы

и

где через обозначен угол между векторами (мы временно исключили возможность совпадения этих двух векторов).

Введем теперь кватернион А преобразования (9.4.21) следующим образом:

[Во втором уравнении использовано условие (9.4.16).]

Сначала покажем, что независимо от того, какие (вообще говоря, комплексные) значения принимает а, условие (9.4.10) выполняется

Поскольку длины векторов нормализованы условиями (9.4.30-9.4.32), при выборе этих векторов имеется четыре степени свободы, которые добавляются к двум степеням свободы, связанным с комплексной константой а.

Методом дополнения, подобным тому, который был использован при доказательстве (9.4.34), покажем, что действительно главные оси нашего преобразования

Следовательно,

Аналогично

Точно так же можно показать, что кватернионы и также имеют характер главных осей

Следовательно,

Мы получили таким образом четыре главные оси произвольного преобразования Лоренца. Первая пара (9.4.36-9.4.37) имеет действительные взаимно обратные собственные значения; они лежат на действительном нуль-конусе. Вторая пара (9.4.39-9.4.40) лежит на комплексном нуль-конусе. Их собственные значения являются комплексно-сопряженными и опять-таки взаимно обратными величинами.

Предельные случаи. В общем случае преобразование Лоренца имеет четыре различных главных значения. Поэтому не может случиться так, что преобразование оставляет неизменными более чем четыре прямые линии. Однако мы встречались с частным случаем преобразования Лоренца (9.2.9-9.2.10), когда неподвижной может остаться целая плоскость. Это происходит только тогда, когда совпадают два собственных значения. Из проведенной выше классификации видно, что совпадение собственных значений может произойти лишь одним из путей:

(а) Если выбрано действительным. Тогда

(б) Если а выбрано комплексным, но равным единице по абсолютной величине. Тогда

(При осуществляются оба условия. Тогда мы имеем тождественное преобразование и неизменным остается все пространство. Кроме этого предельного случая, никогда не может случиться так, что неподвижной окажется более чем одна плоскость.)

1. Обратимся сначала к случаю Мы сталкиваемся здесь с -параметрическим семейством преобразований, поскольку а ограничено лишь одним условием. Этот класс преобразований отличается тем свойством, что все четыре собственных значения, а потому и все четыре главные оси, действительны. Этого не видно из выражений (9.4.39) и (9.4.40), так как и и являются комплексными величинами. Однако ввиду совпадения собственных значений и можно взять любую линейную комбинацию этих двух осей. Тогда из (9.4.16) следует, что должны быть действительными следующие два 4-вектора:

Вычислим для этих двух векторов скаляр (9.4.5)

Учитывая множитель получаем, что Записав в форме (9.4.29), получим

Следовательно, обе главные оси лежат вне нуль-конуса и вне физического пространства, преобразующегося по лоренцову преобразованию. То же самое справедливо и по отношению к инвариантной плоскости, проходящей через эти два 4-вектора. Плоскость в частном случае преобразования лежит вне нуль-конуса и потому преобразование принадлежит к этому классу. В частности, в этом случае имеем

2. Перейдем теперь к случаю Здесь тоже имеется -параметрическое семейство преобразований Лоренца, поскольку а должно иметь вид Инвариантная плоскость характеризуется линейной комбинацией двух главных осей

так что получаем

Те точки инвариантной плоскости, для которых множители имеют одинаковые знаки, лежат внутри нуль-конуса (действительное пространство), а те, для которых знаки разные, лежат вне нуль-конуса (мнимое пространство). Случаи и взаимно исключают друг друга.

3. Имеется одна точка соприкосновения между этими двумя классами преобразований, приводящая к -параметрическому классу преобразований Лоренца. Преобразования этого класса получаются в том случае, когда два вектора непрерывным образом приближаются друг к другу при одновременном стремлении а к 1. Положим

где — бесконечно малый параметр. Тогда кватернион (9.4.33) принимает вид

Положив

получим, пренебрегая величинами второго порядка малости относительно

Учитывая условие (9.4.32), имеем

и потому

Отношение двух бесконечно малых параметров может стремиться к любому конечному значению Поэтому результат наших вычислений можно представить в следующем виде. Комплексный кватернион А, который, согласно (9.4.21), производит преобразование Лоренца, превращается в

где

Главными осями этого преобразования становятся где

Хотя действительное собственное значение является четырехкратно вырожденным, мы получаем всего две главные оси, так как две нуль-оси совпадают; более того, первая ось из пары (9.4.43) также совпадает с так как Поэтому нуль-ось становится трехкратно вырожденнойосью, в то время как в пределе стремится к -вектор

Инвариантная плоскость, определяемая двумя векторами полностью лежит вне нуль-конуса. Однако она касается его по линии

В качестве примера такого преобразования выберем

Тогда

или, после расписывания по координатам,

Одна из главных осей видна сразу. Можно также показать, что значения дают вторую главную ось.

Бесконечно малые преобразования Лоренца. Выбор приводит к тождественному преобразованию. Выбрав а очень близким к единице, получим «бесконечно малое преобразование», соответствующее бесконечно малому повороту осей. Любой конечный поворот может рассматриваться как последовательность бесконечно малых поворотов.

Мы снова приходим к соотношению (9.4.48). Поскольку есть просто пространственный кватернион (с временной скалярной частью, равной нулю), можно положить

где два 3-вектора а и b произвольны, а — действительный бесконечно малый параметр. Тогда

или, в координатной форме,