ГЛАВА VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби «канонической» формой. Первоначальные дифференциальных лаграижевых уравнений второго порядка заменяются при этом дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми «каноническими уравнениями», которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики.

1. Дуальное преобразование Лежандра.

Французский математик Лежандр (1752—1833) в своих работах по изучению дифференциальных уравнений обнаружил одно важное преобразование, которое обладает замечательными свойствами, обусловившими его применение во многих проблемах анализа. В механике оно приводит к новой форме уравнений

Лагранжа, которая будет очень удобна для дальнейших математических исследований. Перед тем как применить это преобразование к уравнениям Лагранжа, обсудим его общие математические свойства.

Пусть задана функция

Введем новую совокупность переменных помощью преобразования

Предположим, что так называемый «гессиан», т. е. детерминант, образованный из вторых частных производных отличен от нуля. Этим гарантируется независимость переменных и из уравнений (6.1.2) можно выразить представив их как функции

Определим новую функцию следующим образом:

Выразим через и подставим в (6.1.3). Функция окажется выраженной только через новые переменные

Рассмотрим теперь бесконечно малую вариацию функции вызванную произвольными бесконечно малыми вариациями Из и (6.1.4) получим

Поскольку функция одних только мы должны были бы выразить через и, следовательно, вариации через вариации Однако из (6.1.5) видно, что эта операция излишня, так как коэффициенты при автоматически равны нулю в соответствии с определением переменных данным в (6.1.2). Поэтому из (6.1.5) сразу получаем

Этот результат выражает замечательный дуализм преобразования Лежандра, который можно пояснить следующей схемой:

То есть так же, как новые переменные представляют собой частные производные старой функции по старым переменным, старые переменные являются частными производными новых функций по новым переменным.

Преобразование, определяемое (6.1.7), полностью симметрично. Название «старая система» и «новая система» связаны с тем, начинаем ли мы справа или слева. Но ведь в действительности можно с равным успехом начинать и справа и слева. В преобразовании Лежандра «старая» и «новая» системы полностью эквивалентны.

Область применимости преобразования Лежандра можно несколько расширить. Предположим, что функция зависит от двух систем переменных

Переменные не зависят от переменных Они входят в просто как параметры и не участвуют в преобразовании,

которое выполняется точно так же, как и раньше. Новая функция также будет содержать Мы будем называть активными, a - пассивными переменными преобразования.

Возвращаясь к уравнению (6.1.5), найдем полную вариацию при произвольных вариациях всех и Наличие переменных приводит к появлению соотношений, которых не было раньше. Соотношения (6.1.2) остаются неизменными; однако в дополнение к ним появляются равенства

Резюме. Преобразование Лежандра заменяет данную функцию заданной системы переменных новой функцией новой системы переменных. Старые и новые переменные связаны между собой точечным преобразованием. Замечательным свойством преобразования Лежандра является его симметрия относительно обеих систем. То преобразование, которое переводит старую систему в новую, приводит также от новой системы к старой.