ГЛАВА VII. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному «каноническому» виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих «канонических преобразований» оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную роль в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей.

1. Преобразования координат как метод решения задач механики.

Как мы уже видели при изучении лагранжевой формы механики, правильный выбор координат может существенно облегчить задачу решения дифференциальных уравнений движения. Если среди наших координат имелась циклическая, то мы сразу находили первый интеграл уравнений Лагранжа. Поэтому мы пытались получить циклические координаты путем преобразования первоначальной системы координат.

Совершенно аналогичная ситуация возникает и в гамильтоновой форме механики. Мы снова не имеем прямого метода интегрирования канонических уравнений, и наиболее эффективными оказываются координатные преобразования фазового пространства. При этом выясняется, что уравнения Гамильтона обладают рядом преимуществ по сравнению

с уравнениями Лагранжа. В лагранжевой механике существенной является функция представляющая собой разность между кинетической и потенциальной энергией. При попытке упростить выражение для потенциальной энергии кинетическая энергия может приобрести слишком сложный вид, и наоборот. Одновременное упрощение выражений и для потенциальной и для кинетической энергий является довольно трудной задачей. В гамильтоновой механике положение более благоприятное, потому что основная функция, функция Гамильтона Я, зависит лишь от самих переменных и не содержит каких бы то ни было производных. Поэтому ее можно сравнить с потенциальной энергией в лагранжевой задаче. Кинетическая же энергия приводится к нормальному виду и не участвует в задаче преобразования. Ею определяется общий класс преобразований, которые могут применяться. Оставаясь внутри этого класса, мы можем полностью сконцентрировать свое внимание на функции Гамильтона

Еще одно преимущество уравнений Гамильтона при координатных преобразованиях по сравнению с уравнениями Лагранжа связано с удвоенным количеством переменных. Хотя на первый взгляд это является скорее недостатком, чем преимуществом, сам процесс преобразования координат переводит этот пассив в актив. Увеличение числа переменных, имеющихся в нашем распоряжении, расширяет область возможных преобразований, что очень существенно.

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений.

Метод преобразований координат требует совершенно цного подхода по сравнению с задачей прямого интегрирования.

Теперь уже не рассматриваются как функции времени Нужно совершенно забыть об уравнениях движения и считать просто переменными величинами. Они являются теперь только координатами точки в фазовом пространстве и ничем больше. Специфическая задача о движении полностью предается забвению. Важно лишь, чтобы при преобразовании сохранялись канонические уравнения. Это требование приводит к появлению дифференциальной формы, которая фигурирует в каноническом интеграле. При сохранении этой дифференциальной формы сохраняется и вся система дифференциальных уравнений. Следовательно, мы имеем задачу о преобразовании координат, которая характеризуется инвариантностью определенной дифференциальной формы.

Преобразования, сохраняющие канонические уравнения, называются «каноническими преобразованиями». Общая теория этих преобразований принадлежит Якоби.

Резюме. Наиболее эффективным инструментом для исследования и решения канонических уравнений являются преобразования координат фазового пространства. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать уравнения, ищется некоторая новая система координат, которая больше подходит для решения задачи, чем первоначальная система. Для этого процесса в нашем распоряжении имеется широкий класс преобразований. Они называются «каноническими преобразованиями».