6. Время как циклическая переменная; принцип Якоби; принцип наименьшего действия.

Рассмотрим склерономную или «консервативную» систему с функцией Лагранжа, не зависящей явно от времени. Представим себе, что мы не используем время как независимую переменную и что все переменных и заданы как функции некоторого параметра Система имеет теперь степеней свободы. Обозначив штрихом производные по получим интеграл действия в следующем виде:

Время здесь является циклической координатой, поскольку в подинтегральное выражение входит только а само не входит.

Воспользуемся теоремой о том, что импульс, соответствующий циклической координате, остается при движении постоянным. Вначале рассмотрим импульс, соответствующий временной переменной

Выражение в последних круглых скобках в точности совпадает с тем выражением, которое встречалось уже раньше при обсуждении закона сохранения энергии. Мы назвали это выражение полной энергией и обозначили через Для обычных механических систем есть просто сумма кинетической и потенциальной энергий Мы получаем таким образом важную теорему, которая справедлива независимо от того, консервативна система или нет: импульс, соответствующий временной переменной является полной энергией, взятой с обратным знаком. Если циклическая координата, т. е. если наша система консервативна, то мы сразу получаем

что является новым выводом теоремы о сохранении энергии.

Можно, однако, сделать нечто большее. Мы знаем, что циклическую переменную можно исключить, уменьшив на единицу число степеней свободы исходной вариационной задачи. В данном случае мы можем исключить из вариационной задачи и получить новую вариационную задачу, определяющую траекторию движения в пространстве, но ничего не говорящую о том, как это движение протекает во времени.

Согласно общему методу, сначала видоизменим функцию Лагранжа. В данном случае мы должны написать

что приводит к новому интегралу действия

Учитывая (5.3.15), можно переписать А в виде

В литературе восемнадцатого века этот интеграл часто появлялся в форме

но Якоби указал на то, что эта форма неудовлетворительна, потому что время не может рассматриваться как аргумент в данной вариационной задаче. Действительно, наш процесс уменьшения числа степеней свободы еще не закончен. Мы должны исключить циклическую переменную при помощи уравнения для импульса (5.6.3), а это делает зависимой переменной. До этого исключения вариационный принцип не может быть применен к (5.6.6) или (5.6.7).

Используем теперь символическое понятие С-точки, изображающей механическую систему в пространстве конфигураций. Мы уже знаем, что кинетическую энергию системы можно рассматривать как кинетическую энергию одной частицы с единичной массой

где линейный элемент пространства конфигураций (см. гл. I. п. 5). Поскольку аргументом теперь является не мы должны написать

Выражая отсюда с учетом теоремы о сохранении энергии (5.6.3), получаем

Более того, в подинтегралъном выражении в (5.6.6) можно положить

в результате чего (5.6.6) будет иметь вид

Мы закончили таким образом исключение переменной и получили интеграл действия для приведенной системы. Время не входит в интеграл кроме того, А не зависит также от параметра Однако не есть полный дифференциал, и было бы совершенно неверно считать, что это подинтегральное выражение в соответствует дифференциалу независимой переменной. Чтобы избежать этого недоразумения, мы и поставили черту над . В качестве аргумента нужно выбрать какой-либо параметр . В частности, в качестве такого параметра можно взять одно из например считая все остальные функциями сразу сведет вариационную задачу от степеням свободы.

Принцип минимизации, примененный к интегралу (5.6.12) с целью нахождения пути механической системы, называется «принципом Якоби». Время не входит в его формулировку. Он определяет траекторию С-точки в пространстве конфигураций, а не движение во времени. Однако это последнее легко найти путем интегрирования уравнения (5.6.10), что дает как функцию параметра Уравнение (5.6.10) не является частью вариационной задачи, а есть выражение теоремы о сохранении энергии. Однако оно дополняет вариационную задачу, определяя, как происходит движение во времени.

Принцип Якоби является фундаментальным принципом механики. Если ограничиться случаем одной частицы, то линейный элемент совпадает с линейным элементом обычного трехмерного пространства в произвольных криволинейных координатах. Принцип Якоби в этом случае оказывается механическим аналогом принципа Ферма наименьшего времени в оптике, согласно которому оптический путь светового луча определяется минимизацией интеграла

где коэффициент преломления, который, подобно величине может изменяться от точки к точке. Мопертюи утверждал, что законы природы могут быть получены путем минимизации некоторой величины, которую он назвал «действием» и которая при соответствующей формулировке совпадает с интегралом Якоби (5.6.12); он пытался показать, что закон преломления света получается из принципа наименьшего действия с таким же успехом, как и из принципа наименьшего времени. Он обратил внимание, таким образом, на ту же самую примечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями, которая была известна еще Иоганну Бернулли, и которая впоследствии нашла свое полное развитие в замечательной оптико-механической теории Гамильтона. Эта аналогия сыграла важную роль в развитии современной волновой механики.

Аналогия между принципом Якоби, с одной стороны, и принципом Ферма — с другой, касается лишь пути, описываемого движущейся точкой в механике и лучом света в оптике. Протекание процесса во времени в механическом и в оптическом случаях совершенно различно (см. гл. VIII, п. 7).

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся «принципа наименьшего действия», указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях; последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций.

1. В кинетической энергии дифференцирование по времени заменяется дифференцированием по параметру

2. После исключения при помощи соотношения для энергий

минимизируется интеграл действия

В качестве «действия» Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей. Первый способ соответствует методу Яксби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия

В данной конкретной задаче неопределенный множитель Лагранжа можно легко вычислить. Так как одна из переменных, то минимум по дает соотношение

откуда

В результате интеграл принимает вид

Поскольку новая вариационная задача является свободной, без каких бы то ни было дополнительных условий, нет причин, препятствующих использованию в качестве аргумента. В результате получаем интеграл действия

возвращающий нас к принципу Гамильтона. Этот вывод объясняет, как Лагранж получил свои уравнения движения, являющиеся прямым следствием принципа Гамильтона, исходя из совершенно иного принципа, «принципа наименьшего действия».

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как «принцип наименьшего действия». В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа.