5. Фазовое пространство и фазовая жидкость.

Переменными в каноническом интеграле являются Следовательно, новая вариационная задача касается степеней свободы. Если мы желаем изобразить эту новую ситуацию геометрически, то нам придется использовать пространство измерений. «Положение» механической системы теперь определяется наряду с прежними позиционными координатами лагранжевой механики также и импульсами. Великий американский ученый Гиббс назвал это пространство, в котором одна точка С определяет обобщенное «положение» механической системы «фазовым пространством». В лагранжевой механике мы говорили о «пространстве конфигураций», в которое включались только переменные . В гамильтоновой механике мы говорим о «фазовом пространстве», использующем как совокупность переменных.

В пространстве конфигураций имело смысл введение определенного вида геометрии, причем эта геометрия оказалась римановой. В фазовом пространстве ситуация иная: оно не имеет определенной метрики, и мы для удобства будем считать, что являются прямоугольными координатами -мерного евклидова пространства. Поскольку нет особых оснований для введения метрики в фазовом пространстве, евклидова геометрия столь же хороша, как и всякая другая.

Удвоение числа измерений, произведенное при введении фазового пространства, на первый взгляд кажется ненужным усложнением. Однако при теоретических исследованиях задач движения использование фазового пространства ведет к ряду существенных преимуществ. Одно из наиболее важных преимуществ станет наглядным, если рассмотреть множество траекторий С-точки, сначала в лагранжевой пространстве конфигураций, а затем в гамильтоновом фазовом пространстве. Пока речь идет об одной траектории, то движущаяся С-точка в обоих случаях описывает некоторую кривую. Однако выделение одной конкретной траектории из множества всех возможных траекторий часто сильно затрудняет теоретические исследования. На многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, выделяя одно частное решение уравнений движения, соответствующее какому-то конкретному выбору начальных условий.

Необходимо получить общее решение, удовлетворяющее произвольным начальным условиям.

Попытавшись изобразить все множество траекторий в лагранжевом пространстве конфигураций, мы получим безнадежно запутанное переплетение линий. Движение может начинаться из любой точки пространства конфигураций в произвольном направлении и с произвольной начальной скоростью. Невозможно получить какое-либо упорядоченное представление всех этих линий. Обратимся теперь к фазовому пространству уравнений Гамильтона — уравнений не второго, а первого порядка. При заданном положении С-точки эти уравнения определяют значение ее скорости. Движение может начаться в любой точке фазового пространства, но задание одной точки однозначно определяет всю траекторию. Выражаясь аналитическим языком, можно сказать, что для полного решения канонических уравнений (6.3.5) нужно знать как функции времени констант интегрирования, которые можно интерпретировать как значения координат фазового пространства в момент времени

Это полное решение канонических уравнений можно изобразить в упорядоченном виде, без каких бы то ни было пересечений, если координат рассматривать как различные измерения фазового пространства. Геометрическая картина получается еще более полной, если добавить еще одно измерение, вводя время в качестве координаты. Картан назвал это -мерное пространство «пространством состояний» (espace des etats). В пространстве состояний задача о движении системы полностью геометризуется и полное решение канонических уравнений изображается в виде бесконечного множества кривых, заполняющих -мерное пространство. Эти кривые нигде не пересекаются. Действительно, пересечение двух кривых означало бы, что в одной и той же точке пространства состояний возможны две касательные, что исключается,

так как канонические уравнения в каждой точке этого пространства определяют единственную касательную.

Полученная геометрическая и аналитическая картина находится в полной аналогии с движением жидкости. Представим себе трехмерное движение обычной жидкости, с которой оперирует гидродинамика. Это движение можно описать двумя способами: «с помощью частиц» и «с помощью поля».

При первом способе рассматривается отдельная частица жидкости и прослеживается изменение ее положения со временем начиная с некоторого начального положения

С другой стороны, можно рассмотреть «поле скоростей», существующее в некоторый момент времени и заданное уравнениями

Разрешим уравнения (6.5.2) относительно выразив их в виде функций Подставив затем полученные выражения в (6.5.3), получим как функции

Это и есть описание движения жидкости с помощью поля, которое определяет вектор скорости в любой точке пространства в любой момент времени. Из заданного описания с помощью частиц можно получить описание с помощью поля путем дифференцирований и исключения переменных. С другой стороны, для получения описания второго типа из первого нужно проинтегрировать уравнения (6.5.4). Оба способа описания эквивалентны.

Эта гидродинамическая картина полностью переносится на фазовое пространство. Единственная разница заключается в том, что вместо трех координат имеются

координат Описание с помощью частиц получается в результате интегрирования канонических уравнений. Поведение -мерной фазовой жидкости подобно поведению обычной жидкости.

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет измерений, а именно позиционных координат импульсов и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это -мерное пространство называется «фазовым пространством». Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим -мерное пространство, которое называется «пространством состояний». Геометрически движение можно представить в виде движения -мерной жидкости, называемой «фазовой жидкостью». Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях; движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях.