6. Математическая оценка вариационных принципов.
Множество элементарных задач физики и техники решаются методами векторной механики и не требуют применения аналитических методов. Однако во всех более сложных задачах становится заметным превосходство вариационных
методов. Это превосходство связано с полной свободой в выборе системы координат рассматриваемой задачи. Векторным методам решения легко поддаются лишь те задачи, которые могут быть рассмотрены в прямоугольных системах отсчета, потому что изображение векторов в криволинейных координатах — затруднительная задача, если только не пользоваться сложными методами тензорного исчисления. Хотя необычайная важность инвариантов и ковариантов во всех явлениях природы была открыта лишь недавно и во времена Эйлера и Лагранжа была еще неизвестна, оказалось, что вариационный подход к механике предвосхитил это направление развития, так как принцип инвариантности удовлетворяется в нем автоматически. Мы обладаем полной свободой при выборе координат именно потому, что выкладки и результирующие уравнения остаются справедливыми в произвольной системе координат. Математическая и философская оценки вариационных методов исходят в основном из этой свободы выбора и связанной с ней возможностью произвольных преобразований координат. Это намного облегчает составление дифференциальных уравнений движения, а также их решение. Если мы попадаем на особый тип координат, называемых «циклическими» или «игнорируемыми», то сразу же возможно частичное интегрирование основных дифференциальных уравнений. Если все координаты циклические, то задача решается полностью. Поэтому всю задачу решения дифференциальных уравнений движения можно сформулировать как задачу о преобразовании координат, т. е. вместо того чтобы пытаться непосредственно проинтегрировать дифференциальные уравнения движения, можно стремиться получить как можно больше циклических координат. В механике Эйлера и Лагранжа мы находим нужные циклические координаты более или менее случайно, потому что систематического метода их выделения нет. Однако дальнейшее развитие теории, проведенное Гамильтоном и Якоби, чрезвычайно расширило первоначальные возможности путем введения «канонических уравнений» с их значительно более широкими возможностями с точки зрения преобразований. Здесь уже можно получить полный. набор циклических координат путем решения лишь одного дифференциального уравнения в частных производных.
Хотя реально решение этого дифференциального уравнения возможно только для ограниченного класса задач, оказывается, что многие важные задачи теоретической физики принадлежат именно к этому классу. Поэтому наиболее развитая форма аналитической механики остается не только эстетически и логически наиболее удовлетворительной, но и практически важной, потому что она дает ключ к решению многих задач динамики, недоступных элементарным методам
