ПРИЛОЖЕНИЕ

(к гл. IV, п. 4, стр. 197—201)

Важный переход от лагранжевой к гамильтоновой форме динамики можно совершить более непосредственным образом, без использования преобразования Лежандра, основываясь исключительно на методе неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим заданную функцию Лагранжа Будем рассматривать как некоторую вторую группу независимых переменных т. е. напишем

Это можно сделать, если в качестве дополнительных условий нашей задачи взять уравнения

Естественно, что новая формулировка идентична первоначальной, так как исключение при помощи дополнительных условий приводит обратно к первоначальной задаче.

Однако новую задачу уже можно решать при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа, заменив первоначальную функцию на

где через обозначены лагранжевы множители. Новая задача имеет утроенное количество переменных, а именно Заметим, однако, что входят только как алгебраические переменные, без производных. Такие динамические переменные могут быть в дальнейшем исключены (см. стр. 154, задача 3). Исключение какой-либо переменной означает, что соотношение, имеющее место для истинного движения, предполагается выполняющимся также и для варьированного движения. Это в общем случае

недопустимо, так как может нарушиться условие обращения вариации в нуль в граничных точках области. Однако в случае алгебраической переменной интегрирование по частям отсутствует, так что ограничивающее условие: «вариация должна обращаться в нуль в граничных точках» — может быть опущено. Следовательно, исключение алгебраических переменных всегда допустимо. Исключение при помощи уравнений

означает, что мы должны решить уравнения

относительно Однако это означает, что нам нужно разрешить уравнения

(с первоначальным относительно записав их в виде функций Если положить

то функция имеет вид

Поскольку будет в дальнейшем везде исключено, с таким же успехом можно определить

с добавочным условием, что должны быть исключены при помощи уравнений (6). Это в точности та самая программа, по которой задача Лагранжа преобразуется в задачу Гамильтона.

Возможность обратного перехода от формулировки Гамильтона к формулировке Лагранжа следует из того, что гамильтоново подинтегральное выражение (8) является чисто алгебраическим относительно поэтому могут быть исключены. Это означает, что нам следовало бы решить уравнения

выразив через Подстановка этих дает некоторую функцию которая есть не что иное, как первоначальная функция Лагранжа Таким образом, обратимость преобразования установлена. При получении этих результатов мы пользовались только методом неопределенных множителей Лагранжа и исключением алгебраических переменных.

Еще одно преимущество этого формализма заключается в том, что мы сразу же получаем преобразование вариационной задачи с производными высших порядков к канонической форме, не прибегая к процессу последовательного исключения производных, описанному на стр. 200. Предположим, например, что задана функция Лагранжа

Положим

Это означает, что

где

Единственная алгебраическая переменная, которая должна быть исключена, это Здесь используется уравнение

В результате получается каноническая система первого порядка с парами переменных