6. Скобки Лагранжа и Пуассона.

Лагранж предвосхитил целый ряд результатов, которые являются по существу естественными следствиями теории канонических преобразований.

Он заметил, что в теории возмущений оказывается чрезвычайно важным одно выражение. Рассмотрим две системы переменных, которые заданы как функции двух параметров Образуем «скобки Лагранжа».

Они, очевидно, антисимметричны относительно перестановки переменных

Эти скобки тесно связаны с теорией канонических преобразований.

Заметим, что выражение (7.6.1) в точности равно той величине, с которой мы встретились в предыдущем пункте при преобразовании в поверхностный интеграл циркуляции, записанной в виде криволинейного интеграла. В новых обозначениях можно написать

Поскольку инвариантность циркуляции, взятой вдоль любой замкнутой кривой является характерным свойством канонических преобразований, это же свойство может быть выражено как инвариантность скобок Лагранжа каноническими являются те преобразования от переменных которые оставляют инвариантными скобки Лагранжа, независимо от того, как зависят от Смысл этой инвариантности состоит в том, что, заменив координаты в результате канонического преобразования координатами и образовав затем скобки Лагранжа в новой системе координат, мы получим то же самое значение, что и раньше.

Уже было показано, что, характеризуя каноническое преобразование при помощи производящей -функцпи, мы не получаем сразу явных уравнений преобразования. Преобразование получается в неявном виде и окончательные

уравнения получаются лишь путем исключения (разрешения относительно одной из систем переменных). В связи с этим возникает интересный вопрос: как узнать, является ли некоторое заданное в явном виде преобразование каноническим или нет? У нас нет возможности получать в явном виде канонические преобразования, однако мы можем проверить, является ли данное преобразование каноническим. Каноническое преобразование может быть охарактеризовано системой дифференциальных соотношений. Если эти соотношения выполняются, то преобразование каноническое, и наоборот, если преобразование каноническое, то эти соотношения должны выполняться.

Эти дифференциальные соотношения сразу следуют из того факта, что произвольные скобки Лагранжа не меняются при канонических преобразованиях. Предположим, что нам задано в явном виде некоторое преобразование от старых переменных к новым

Тогда можно выбрать любую пару переменных: и либо либо и рассматривать их как два параметра , для которых образуются скобки Лагранжа; при этом остальные переменные следует считать постоянными. Затем проделывается то же самое в новой системе координат. В новой системе координат все и взаимно независимы. Поэтому из определения скобки Лагранжа сразу получаем

где «символ Кронекера» при

Задача 1. Используя правила дифференцирования неявной функции, показать, что для любого преобразования координат от удовлетворяющего условию (7.6.5), оказываются инвариантными произвольные скобки Лагранжа Отсюда видно, что условия (7.6.5) являются не только необходимыми, но и достаточными для определения канонической природы преобразования.

Задача 2. Показать, что при выполнении условия (7.6.5) билинейная дифференциальная форма

также является инвариантом преобразования.

Вскоре после исследований Лагранжа Пуассон (в 1809 г.) ввел другой тип скобок, который является естественным дополнением к скобкам Лагранжа. Вместо того чтобы считать функциями рассмотрим пару переменных как заданные функции координат

«Скобками Пуассона» называется следующая величина:

Эти скобки также обладают свойствами антисимметрии

Они тесно связаны со скобками Лагранжа. Предположим, что у нас имеются переменных их, которые являются заданными функциями Можно, конечно, и наоборот, рассматривать как функции Для соотношений первого типа образуются скобки Пуассона, для соотношений второго типа — скобки Лагранжа. Один тип скобок определяет другой. Следовательно, раз скобки Лагранжа инвариантны относительно канонических преобразований, то этим свойством обладают и скобки Пуассона. Отсюда получается другая формулировка условий и каноничности преобразования. Каноническими являются те преобразования, которые оставляют инвариантными скобки Пуассона независимо от того, как функции зависят от координат

Применим теперь этот принцип инвариантности к обратному каноническому преобразованию (7.6.4), которое переводит новые координаты в старые

Отождествим с любыми двумя переменными из и запишем скобки Пуассона в новой и старой координатных системах. Для старой системы они могут быть, как и раньше, непосредственно вычислены. Следовательно, из свойства инвариантности получаем

Эти условия эквивалентны первоначальным условиям (7.6.5).

Задача 3. Считая заданными функциями и разрешая затем заданные соотношения относительно установить следующие формулы, связывающие скобки Лагранжа и Пуассона,

При использовании этих соотношений условия (7.6.10) оказываются прямым следствием условий (7.6.5).

Резюме. Заданная производящая функция определяет каноническое преобразование в неявной форме. Хотя и не существует формул, которые бы задавали каноническое преобразование в явном виде, однако относительно любого конкретного преобразования можно выяснить, является ли оно каноническим. Для этой цели могут быть использованы скобки Лагранжа или Пуассона. Эти скобки тесно связаны с каноническими преобразованиями. Каноническими являются те преобразования сопряженных переменных, которые оставляют инвариантными любые скобки Лагранжа или Пуассона.