8. Значение уравнения в частных производных Гамильтона в теории распространения волн.

Выше было выяснено, что уравнение в частных производных Гамильтона (8.7.17) в оптике выражает принцип Гюйгенса в дифференциальной форме. Хотя принцип Гюйгенса основан на предположении о волновом характере движения, построение с помощью этого принципа последовательности волновых фронтов является методом геометрической, а не физической оптики. Для того чтобы более глубоко изучить связь между уравнением в частных производных Гамильтона и принципами физической оптики, мы несколько преобразуем определение волнового фронта. До сих пор мы рассматривали волновые поверхности в связи с распространением элементарных световых возбуждений в геометрической оптике, однако они имеют не меньшее значение и в физической оптике при изучении распространения световой волны определенной частоты. При этом волновые поверхности могут быть определены как поверхности равной фазы. Скорость распространения света является в то же время скоростью распространения фазового угла, например в направлении, перпендикулярном волновым поверхностям.

Распространение волны определенной частоты может быть описано уравнением

где распространяющееся возбуждение, А — амплитуда, - частота, а — фазовый угол. При этом волновые поверхности характеризуются уравнением

При распространении определенной фазы должно выполняться соотношение

или

Из этого соотношения видно, что время, нужное свету для того, чтобы пройти расстояние между соседними поверхностями равно , а соответствующее время для

поверхностей в соответствии с результатом предыдущего пункта равно Следовательно, дифференциальное уравнение для получается из (8.7.17) путем замены

и уравнение в частных производных Гамильтона принимает вид

где через X обозначена длина волны.

Интерпретация величины как некоторой фазы послужила де Бройлю исходным пунктом в его фундаментальном открытии волн материи. Допустим, что в оптико-механической аналогии заключен какой-то физический смысл, несмотря на очевидное различие между движением материи и распространением световых волн. Забудем о том, что электрон — частица, и рассмотрим лишь путь движущегося электрона как своего рода световой луч. Этот путь представляет собой некоторую замкнутую орбиту вокруг ядра. Предположим, что вдоль замкнутой орбиты имеется какое-то колебание. Тогда каждый раз при повторных возвращениях в данную точку это колебание будет вносить вклад в результирующую амплитуду. Эта амплитуда равна нулю, если фазовый угол возвращающегося колебания находится не в резонансе с первоначальным фазовым углом. С другой стороны, амплитуда может стать сколь угодно большой, если новый фазовый угол отличается от первоначального на либо на целое кратное Ввиду того что фазовый угол равен мы получаем следующее правило отбора для траекторий, не уничтожаемых интерференцией:

где целое число. С другой стороны, инвариантная формулировка квантовых условий, предложенная Эйнштейном [см. (8.4.28)], дает

В оптико-механической аналогии фазовый угол и действие соответственные величины. Резонансное условие (8.8.7) показывает, что можно получить естественную адекватную интерпретацию квантовых условий Эйнштейна, если под функцией действия понимать фазовую функцию удовлетворив соотношению

Сравнив уравнения в частных производных (8.7.5) и (8.8.6), которые определяют соответственно функции получим, что с движущимся электроном связана определенная длина волны, согласно закону

Отсюда получается знаменитая «де-бройлева длина волны»

открытие которой столь сильно повлияло на развитие современной атомной физики.

Уравнение в частных производных Гамильтона в оптике эквивалентно дифференциальной формулировке принципа Гюйгенса. Однако принцип Гюйгенса — всего лишь приближенное следствие истинных принципов физической оптики. Адекватное описание оптических явлений производится с помощью уравнений Максвелла для электромагнитного поля, являющихся векторными уравнениями. Вместе с тем ряд оптических явлений можно объяснить с помощью более простой скалярной теории Френеля.

Рассмотрим функцию поля удовлетворяющую волновому уравнению Френеля

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка в отличие от уравнения в частных производных Гамильтона (8.8.6), которое является уравнением первого порядка, но второй степени. Связь между этими двумя фундаментальными уравнениями может быть установлена следующим образом.

Предположим, что оптические колебания происходят с определенной частотой Тогда становится возможным разделение переменных (выделение времени) и записывается в виде

Здесь называется «амплитудной функцией», а определяющее ее дифференциальное уравнение — «амплитудным уравнением»

Из сравнения (8.8.13) с (8.8.1) следует, что имеется следующая связь между волновой функцией и фазовой функцией

Подставив выражение (8.8.15) в амплитудное уравнение (8.8.14), получим следующее дифференциальное уравнение для

При , стремящемся к нулю, последним членом в этом уравнении можно пренебречь. Отсюда следует интересный вывод: уравнение в частных производных Гамильтона в оптике эквивалентно волновому уравнению Френеля для случая бесконечно малых длин волн, т. е. бесконечно больших частот. Для малых, но конечных длин волн уравнение в частных производных Гамильтона является лишь приближенным и должно было бы быть заменено точным уравнением (8.8.16) или, что еще лучше, амплитудным уравнением для функции

В 1927 г. Шредингер предложил оригинальную идею: углубить аналогию между геометрической оптикой и механикой, установленную уравнением в частных производных Гамильтона и перейти от фазовой функции к волновой функции А. Так, вводя де-бройлеву длину волны (8.8.10) в амплитудное уравнение (8.8.14), получим знаменитое дифференциальное уравнение Шредингера

которое является основой современной волновой механики. Таким образом, великий переход от классической к волновой механике отмечен следующими вехами: теория Делоне для многопер йодных механических систем с разделяющимися переменными; квантовые условия Зоммерфельда Вильсона; инвариантная формулировка Эйнштейна для квантовых условий; резонансная интерпретация де Бройля квантовых условий Эйнштейна; логарифмическое преобразование Шредингера от фазовой функции к волновой функции

Резюме. Волновые поверхности распространения света могут быть определены как поверхности равной фазы. Уравнение в частных производных Гамильтона определяет в оптике распределение в пространстве фазового угла стационарного оптического поля. Это ференциальное уравнение тесно связано с волновым уравнением Френеля и является его приближенным следствием. Это приближение переходит в точное уравнение в случае бесконечно малых длин волн, т. е. бесконечно больших частот.