12. Варьирование при наличии дополнительных условий.

Рассмотрим снова задачу предыдущего пункта с тем,

однако, отличием, что на переменные будут наложены дополнительные условия. Пусть эти условия имеют вид некоторых функциональных соотношений между

Можно исключить какие-то переменных выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым; кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. В этих случаях хорошие результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, описанный выше в п. 5.

Варьирование уравнений (2.12.1) дает

Эти уравнения справедливы в любой момент времени . В соответствии с методом Лагранжа умножим каждое из этих уравнений на неопределенный множитель Так как дополнительные условия выполняются при всех значениях независимой переменной множители тоже используются при всех значениях что делает их функциями от Кроме того, после суммирования по всем дополнительным условиям, каждое из которых умножено на свое получившееся выражение подставляется под знак интеграла по . В результате метод множителей Лагранжа принимает такую форму: вместо того, чтобы приравнять нулю вариацию заданного интеграла, преобразовываем ее следующим образом:

Сделать это можно, так как в действительности мы прибавили нуль к вариации интеграла Первый член преобразуем обычным интегрированием по частям к виду

Объединим теперь подинтегральные выражения в (2.12.3) и соберем члены, содержащие одинаковые Мы должны были бы исключить последние вариаций при помощи уравнений (2.12.2), но этого можно избежать, выбрав таким образом, чтобы коэффициенты при этих обратились в нуль. Оставшиеся вариации могут выбираться произвольно, а потому и при них коэффициенты должны быть равны нулю во всем интервале. В итоге получается, что коэффициенты при всех обращаются в нуль, безотносительно к тому, является ли данная вариация зависимой или нет.

Окончательная система уравнений имеет вид

Она совпадает с системой уравнений для следующей вариационной задачи: вместо вариации определенного интеграла

с дополнительными условиями (2.12.1) рассматривается вариация другого, видоизмененного, интеграла

где

но уже без дополнительных условий.

В этом случае, как и всегда, должны рассматриваться как константы в процессе варьирования. Можно, однако, включить их в вариационную задачу в качестве дополнительных неизвестных функций от Варьирование по приведет тогда снова к дополнительным условиям (2.12.1).

Решение системы (2.12.5) должно удовлетворять дополнительным условиям (2.12.1), что и определяет как функции от Из имеющихся начальных условий мы можем выбрать произвольно лишь координат и скоростей, а остальные определятся из дополнительных условий. Это согласуется с тем фактом, что соответствующая механическая система имеет лишь степеней свободы. Поэтому использование дополнительных координат является лишь удобным математическим приемом.

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать исключения лишних переменных при наличии дополнительных условий и учитывает дополнительные условия без уменьшения числа переменных. Подинтегральное выражение заданной вариационной задачи преобразуется путем прибавления левых частей имеющихся дополнительных условий, каждое из которых умножается предварительно на множитель Полученная новая задача рассматривается как свободная вариационная задача. Множители к определяются затем как функции путем удовлетворения имеющихся дополнительных условий.