ГЛАВА IV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Введение. Приступая к принципу Даламбера, мы покидаем область статики и попадаем в область динамики. Здесь задачи гораздо более сложны и их решение требует более совершенных методов. В то время как задачи статики для систем с конечным числом степеней свободы приводят к алгебраическим уравнениям, которые могут быть решены при помощи исключения переменных и подстановок, задачи динамики приводят к дифференциальным уравнениям. Настоящая книга посвящена главным образом формулировке и интерпретации основных дифференциальных уравнений движения, а не их окончательному интегрированию. Принцип Даламбера, который мы обсудим в настоящей главе, непосредственно ничего не дает для целей интегрирования. Однако он является важной вехой в истории теоретической механики, так как он дает интерпретацию силе инерции, а это существенно для дальнейшего развития вариационных методов.

1. Сила инерции.

Выдающийся французский математик и философ Даламбер (1717—1783) сумел совершить гениальный шаг, распространив на динамику применимость принципа виртуальных перемещений. Простая, но далеко идущая идея Даламбера может быть изложена следующим образом. Мы исходим из основного закона движения Ньютона: «произведение массы на ускорение равно движущей силе»:

и переписываем его в виде

Введем вектор I следующим образом:

Этот вектор можно рассматривать как силу, создаваемую движением. Назовем ее силой инерции. Теперь уравнение Ньютона можно записать в следующем виде:

На первый взгляд ничего не изменилось, так как промежуточная ступень (4.1.3) дает лишь новое название произведению массы на ускорение, взятому с обратным знаком. Именно эта кажущаяся тривиальность делает принцип Даламбера гениальным открытием и в то же время постоянным источником неверных толкований и недоразумений.

Важность уравнения (4.1.4) связана с тем, что в нем содержится нечто большее, чем просто измененная формулировка закона Ньютона. Это уравнение является выражением некоторого принципа. Мы знаем, что в ньютоновой механике обращение силы в нуль означает равновесие. Следовательно, уравнение (4.1.4) утверждает, что добавление силы инерции к остальным действующим силам приводит к равновесию. Это означает, что, имея какой-либо критерий равновесия механической системы, мы можем сразу же распространить его на систему, находящуюся в движении. Единственно, что для этого требуется, это добавить к имеющимся силам новую «силу инерции». В результате динамика сводится к статике.

Это не означает, что мы можем на практике решать задачи динамики методами статики. Окончательные уравнения являются дифференциальными уравнениями, которые приходится потом решать. Мы просто выводим эти уравнения, пользуясь соображениями статики. Добавление силы инерции I к действующей силе F заменяет задачу о движении задачей о равновесии.

Нам могут возразить, что поскольку масса m на самом деле движется, то, казалось бы, нет оснований рассматривать ее так же, как если бы она покоилась. На это возражение можно дать два ответа. Во-первых, движение есть явление относительное. Мы можем ввести систему отсчета, движущуюся вместе с телом, и наблюдать за телом из этой системы. Тогда тело будет действительно покоиться. Во-вторых, принцип Даламбера акцентирует внимание на силах, а не на движущемся теле, и равновесие данной системы сил можно рассматривать безотносительно к состоянию движения тела, на которое эти силы действуют. Согласно критерию равновесия для произвольной системы сил, должна обратиться в нуль полная виртуальная работа всех сил. Этот критерий использует виртуальные, а не реальные перемещения, и потому он равно применим и к покоящимся, и

к движущимся массам. Так как виртуальные перемещения представляют собой хотя и возможный, но все же чисто математический эксперимент, то их можно произвести в некоторый определенный момент времени (даже если бы подобные перемещения и потребовали физически бесконечных скоростей). В такой фиксированный момент времени реальное движение тела не играет роли.

Даламбер обобщил свои рассуждения о равновесии одной частицы на произвольную механическую систему. Принцип Даламбер а утверждает, что любая система сил находится в равновесии, если мы добавляем к приложенным (активным) силам силы инерции. Это означает, что полная виртуальная работа всех приложенных сил и сил инерции равна нулю на обратимых перемещениях. Представляется удобным дать особое название силе, получающейся в результате сложения силы инерции и заданной силы действующей на частицу. Мы назовем эту суммарную силу «эффективной силой» 1 и обозначим ее через

Принцип Даламбера можно теперь сформулировать следующим образом: полная виртуальная работа эффективных сил равна нулю для всех обратимых виртуальных перемещений, совместимых с заданными кинематическими условиями

Заметим, что приложенные силы могут действовать лишь на часть точек системы, в то время как эффективные силы существуют везде, где только имеются массы, участвующие в ускоренном движении.

Заданная система приложенных сил в общем случае не находится в равновесии, так как для этого требуется выполнение специальных условий. Полная виртуальная работа этих сил обычно отлична от нуля. Однако само движение системы восполняет этот недостаток. Тело движется таким

образом, чтобы дополнительные инерционные силы, порождаемые движением, привели баланс работы к нулю. Таким путем из принципа Даламбера следуют уравнения движения произвольной механической системы.

В отличие от приложенных (активных) сил, которые обычно получаются путем дифференцирования одной силовой функции (моногенные силы), силы инерции имеют полигенный характер. В то время как виртуальная работа активных сил может быть записана в виде полной вариации силовой функции

виртуальная работа сил инерции

Это просто дифференциальная форма, не сводимая к вариации скалярной функции. (Ниже мы увидим, как этот недостаток может быть возмещен при помощи интегрирования по времени.)

Уравнение Ньютона (4.1.1) справедливо только в случае, когда масса постоянна. Если масса меняется во время движения, то основной закон движения должен быть записан в виде

т. е. «скорость изменения импульса равна движущей силе». Соответственно сила инерции I должна быть определена как скорость изменения импульса, взятая с обратным знаком

В обычном случае постоянной массы это общее определение совпадает с (4.1.3).

Определение силы инерции требует наличия «абсолютной системы отсчета», в которой измеряется ускорение. Это внутренний недостаток ньютоновой механики, который остро ощущался самим Ньютоном и его современниками. Разрешение этой трудности появилось лишь недавно, в связи с величайшим достижением Эйнштейна, общей теорией относительности.

Можно спросить, в чем же физический смысл принципа Даламбера. Из определения «эффективной силы» (4.1.5) следует, что эта сила равна нулю для свободной частицы и равна силе реакции, взятой с обратным знаком, для частицы, на которую наложена некоторая связь. Следовательно,

применение принципа виртуальных перемещений к эффективной силе Vе эквивалентно предположению, что «виртуальная работа сил реакции равна нулю на любых виртуальных перемещениях, совместимых со связями». Мы таким образом вновь приходим к тому же «постулату А», который мы сформулировали раньше в гл. III, п. 1. Принцип Даламбера распространяет действие этого постулата из области статики на область динамики, не производя в нем никаких изменений.

Резюме. Принцип Даламбера вводит новую силу, силу инерции, определенную как произведение массы на ускорение, взятое с обратным знаком. Добавив эту силу к активным силам, получим равновесие, означающее выполнение условия принципа виртуальных перемещений. Действие последнего распространяется таким образом из области статики на область динамики.