1.2 Кумулянты

1. Характеристическую функцию можно записать в виде , где, очевидно, должно быть . Разложим функцию в степенной ряд

(1.2.1)

Коэффициенты этого ряда

(1.2.2)

так же, как и моменты, являются характеристиками вероятностного распределения и носят название кумулянтов или семиинвариантов. Таким образом,

(1.2.3)

Кумулянты однозначно определяют случайную величину, если ряд (1.2.1) сходится для всех и. Поэтому набор кумулянтов также может служить тождественным представлением вероятностного распределения.

Если известны моменты, то кумулянты могут быть найдены из следующих соотношений (см., например, [13, [14]):

(1.2.4)

В свою очередь, моменты могут быть выражены через кумулянты:

(1.2.5)

Взаимосвязь кумулянтов с центральными моментами легко получается из (1.2.4), (1.2.5) при . При этом .

2. Кумулянты распределения во многих отношениях (и далее это будет видно полнее) являются гораздо более удобными параметрами распределения, чем моменты (в том числе и центральные). Помимо прочих причин это связано и с тем, что во многих практически важных случаях высшими кумулянтами распределений в отличие от моментов можно пренебрегать. С другой стороны, существует возможность рассмотреть такие распределения (см. гл. 5), кумулянты которых, начиная с некоторого порядка, все обращаются в нуль, в то время как моменты не равны нулю. Например, для гауссова распределения

(1.2.6)

отличны от нуля только первые два кумулянта и вместе с тем ни один из моментов не равен нулю.

Первые два кумулянта имеют четкий смысл — это среднее значение и дисперсия распределения. Последующим двум кумулянтам также можно дать определенную интерпретацию. Так, третий кумулянт можно назвать асимметрией распределения, а четвертый — эксцессом. Асимметрия отлична от нуля только для плотности вероятности, асимметричной относительно точки . Эксцесс распределения часто описывает отклонение распределения от гауссова в сторону более острой или более тупой вершины, хотя это и не всегда так [14]. Удобно ввести безразмерные кумулянты — кумулянтные коэффициенты

(1.2.7)

Коэффициенты и называют коэффициентами асимметрии и эксцесса соответственно (см., например, [13]).

3. Важно отметить, что кумулянтные коэффициенты описывают степень отклонения вероятностного распределения от гауссова. Это даст возможность количественно оценить это отклонение и записать произвольное распределение в виде ряда по гауссову распределению и его производным.

Пусть имеется произвольное распределение , обладающее в общем случае всеми кумулянтами. Его характеристическую функцию (1.2.3) можно записать в следующем виде:

(1.2.8)

где

Сравнивая это тождество с (1.1.7) и с (1.2.3), легко понять, что коэффициенты представляют собой не что иное, как моменты распределения , вычисленные при условии . Таким образом, находим

(1.2.9)

Эти коэффициенты называются квазимоментами распределения [5, 26, 27]. Они отличны от нуля только для негауссовых случайных величин.

Совершая преобразование Фурье (1.2.8), получаем

(1.2.10)

Полученный ряд называется рядом Эджворта [13]. Он дает разложение произвольной плотности вероятности по производным гауссова распределения. В том случае, когда высшие кумулянты достаточно малы, можно ограничиться, например, четырьмя членами суммы

Из этой формулы непосредственно видна особая ценность кумулянтов при оценке отклонения плотности вероятности от гауссовой.

4. Характеристическую функцию можно представить также и в виде

(1.2.11)

Сравнивая между собой три вида разложения характеристической функции (1.1.7), (1.2.11) и (1.2.8), интересно обратить внимание на то, что образуют некоторый закономерный ряд. Так, есть при условии есть при условии . С этой точки зрения центральный момент также носит смысл квазимомента.