2.2. Теория излучения черного тела

Рассмотрим полость, заполненную однородной и изотропной диэлектрической средой. Если стенки полости поддерживаются при постоянной температуре Т, то они непрерывно испускают и поглощают энергию в виде электромагнитного излучения. Когда скорости поглощения и испускания энергии становятся одинаковыми, как на стенках полости, так и во всем объеме диэлектрика достигается равновесное состояние. Это состояние можно описать с помощью величины, называемой плотностью энергии которая представляет собой электромагнитную энергию, заключенную в единице объема полости. Поскольку мы имеем

дело с электромагнитным излучением, плотность энергии можно выразить через напряженности электрического и магнитного полей в соответствии с хорошо известной формулой:

где — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей полость.

Спектральное распределение энергии излучения будем описывать функцией которая зависит от частоты Эта функция определяется следующим образом: представляет собой плотность электромагнитного излучения с частотами в интервале от до Очевидно, что соотношение между можно записать в виде

Если теперь проделать отверстие в стенке полости, то часть света со спектральной интенсивностью будет покидать полость сквозь это отверстие. Как мы увидим в конце данного раздела, связано с простым множителем пропорциональности.

Можно показать, что спектральные распределения энергии а следовательно, и являются универсальными функциями, которые не зависят ни от материала стенок, ни от формы полости, а определяются лишь частотой и температурой полости Т. Это свойство величины можно доказать с помощью простого термодинамического рассуждения. Предположим, что имеются две полости произвольной формы, стенки которых поддерживаются при одной и той же температуре Т. Чтобы быть уверенными в том, что температура сохраняется постоянной, можно представить себе, что стенки обеих полостей находятся в тепловом контакте с двумя термостатами при температуре Т. Предположим, что для данной частоты спектральная плотность энергии в первой полости больше, чем соответствующая величина во второй полости. Соединим теперь оптически обе полости, сделав в каждой из них отверстие и спроецировав при помощи подходящей оптической системы одно отверстие на другое. Кроме того, установим в оптической системе идеальный фильтр, который пропускает излучение лишь в небольшом частотном интервале вблизи частоты Если то и возникает поток электромагнитной энергии из первой полости во вторую. Однако этот поток энергии противоречит второму закону термодинамики, поскольку обе полости находятся при

одной и той же температуре. Следовательно, при всех частотах должно выполняться равенство

В свое время задача о вычислении универсальной функции вызвала значительные затруднения у физиков. Однако благодаря Планку, который для нахождения правильного решения ввел так называемую гипотезу о световых квантах, она была полностью решена. Поэтому теория излучения черного тела является одной из фундаментальных основ современной физики.

Рис. 2.1. Полость прямоугольной формы с идеально проводящими стенками, поддерживаемыми при температуре Т.

Поскольку функция не зависит ни от формы полости, ни от природы диэлектрической среды, рассмотрим для простоты прямоугольную полость с идеально проводящими стенками, равномерно заполненную диэлектриком (рис. 2.1). Расчет функции начнем с вычисления распределения стоячих электромагнитных волн, которое может существовать в этой полости. Согласно уравнениям Максвелла, напряженность электрического поля волны должна удовлетворять волновому уравнению

где — оператор Лапласа, а с — скорость света в рассматриваемой среде. Кроме того, напряженность электрического поля должна удовлетворять следующему граничному условию на каждой стенке:

где — нормаль к поверхности рассматриваемой стенки. Это условие выражает тот факт, что тангенциальная компонента электрического поля должна обращаться в нуль на стенках полости.

Нетрудно показать, что задача решается разделением переменных. Таким образом, записывая

и подставляя это выражение в уравнение (2.2), получаем

где — постоянная величина. Уравнение (2.56) имеет общее решение

где — произвольные постоянные величины, а

Если функция дается выражением (2.6), то решение (2.4) соответствует определенной конфигурации стоячей волны электромагнитного поля внутри полости. Действительно, амплитуда этой волны в данной полости является постоянной во времени. Решение такого типа называется электромагнитной модой полости.

Перейдем теперь к решению уравнения (2.5а), известного как уравнение Гельмгольца, с учетом граничных условий (2.3). Нетрудно убедиться в том, что выражения

удовлетворяют уравнению для любых значений при условии, что

Кроме того, решения (2.8) уже удовлетворяют граничным условиям (2.3) на трех плоскостях Если мы потребуем, чтобы эти граничные условия были справедливы также на других стенках полости, то получим

здесь — произвольные положительные целые числа. Физический смысл этих чисел можно понять сразу: они представляют собой количества узлов моды стоячей волны в направлениях соответственно Фиксированным значениям соответствуют определенные значения , согласно (2.7) и (2.9), частота моды а будет также задана. Она определяется выражением

в котором явно показана зависимость частоты моды от индексов Однако сама мода еще полностью не определена, поскольку остаются произвольными Тем не менее из уравнений Максвелла следует еще одно условие, которому

должно удовлетворять электрическое поле, а именно Из этого условия с помощью выражений (2.8) получаем

Тем самым мы определили два вектора и к, компоненты которых вдоль осей и равны соответственно Из уравнения (2.12) видно, что из трех величин только две являются независимыми. Действительно, если заданы (т. е. сразу определен вектор к), то вектор обязан лежать в плоскости, перпендикулярной к. В этой плоскости для выбора направления вектора остаются лишь две степени свободы и, следовательно, возможны только две моды.

Любой другой вектор, лежащий в этой плоскости, можно представить в виде линейной комбинации двух уже выбранных векторов.

Рис. 2.2. К иллюстрации плотности генерируемых мод в полости, показанной на рис. 2.1. Каждая точка решетки соответствует двум модам полости.

Подсчитаем теперь число мод полости, имеющих частоты от 0 до Это число будет такое же, как и число мод, волновой вектор к которых имеет величину в пределах

Из выражений (2.10) видно, что в системе координат возможные значения для к даются векторами, соединяющими начало координат с узловыми точками трехмерной решетки, показанной на рис. 2.2. Совершенно очевидно полное соответствие между этими точками и возможными значениями вектора к. Однако, поскольку величины являются положительными, мы должны учитывать только точки, лежащие в положительном октанте. Число таких точек, соответствующих величинам в пределах равно одной восьмой отношения объема сферы с центром в начале координат и радиусом к объему элементарной ячейки размерами Поскольку, как уже указывалось, для каждого значения возможно существование двух мод, мы имеем

здесь -объем полости. Если определить как число мод в единице объема и в единичном частотном интервале, то

Получив выражение для мы можем теперь перейти к вычислению плотности энергии поскольку она является произведением числа мод в единичном объеме и в единичном интервале частот на среднюю энергию каждой моды т. е.

Для вычисления положим, что стенки полости находятся при температуре Т. В соответствии со статистикой Больцмана вероятность того, что энергия данной моды в полости лежит между Е и есть где С — константа. Таким образом, средняя энергия моды дается выражением

Тогда из (2.14), (2.15а) и (2.15) получаем

Это хорошо известный закон излучения Рэлея — Джинса. Однако он находится в полном противоречии с экспериментальными результатами. Действительно, совершенно очевидно, что выражение (2.16) должно быть неправильным, так как из него следует, что интегральная плотность энергии бесконечно велика [см. формулу (2.1а)]. Тем не менее выражение (2.16) представляет собой неизбежный результат всех предыдущих рассуждений в соответствии с классической теорией.

Задача оставалась нерешенной до тех пор, пока в начале XX в. Планк не ввел гипотезу о световых квантах. Согласно этой фундаментальной гипотезе, энергия данной моды полости не может принимать любые произвольные значения от 0 до как это в неявном виде предполагалось в выражении (2.15), а разрешенными значениями этой энергии должны быть целые числа, умноженные на фундаментальную величину, пропорциональную частоте моды. Иными словами Планк высказал

предположение, что энергия может быть записана в виде где положительное целое число, некоторая константа (которая позже была названа постоянной Планка). Не вдаваясь в детали этой гипотезы, мы здесь лишь заметим, что в соответствии с ней обмен энергией между полем внутри полости и ее стенками осуществляется дискретными порциями энергии Эта минимальная величина, которая может участвовать в обмене энергией, и называется световым квантом или фотоном. Согласно гипотезе Планка средняя энергия моды записывается в виде

Эта формула существенно отличается от классического выражения (2.15). Очевидно, в предельном случае она становится классическим выражением (2.15). Из (2.14) и (2.17) получаем формулу Планка

которая находится в полном согласии с экспериментальными результатами при условии, что постоянная имеет значение приблизительно Выражение, аналогичное (2.18), можно также записать для функции определяемой таким образом, что величина представляет собой плотность энергии излучения с угловой частотой в пределах а Полагая из (2.18) имеем

здесь, следуя общепринятой договоренности, мы использовали обозначение На рис. 2.3 показана зависимость от частоты для двух различных значений температуры Т.

Следует заметить, что отношение

равно среднему числу фотонов в моде. Если частота принадлежит оптическому диапазону (), то эВ. При температуре имеем эВ, и из выражения (2.19) находим Таким образом, в излучении черного тела при комнатной температуре среднее число

фотонов в каждой моде много меньше единицы. Забегая вперед, укажем, что эту величину следовало бы сравнить с числом фотонов приходящимся в лазерном резонаторе на одну моду (см., например, рис. 5.24).

Прежде чем закончить данный раздел, интересно вывести соотношение между плотностью энергии в полости черного тела и интенсивностью излучения испускаемого ее стенками.

Рис. 2.3. Функция для двух значений температуры Т.

Используя рис. 2.4, вычислим плотность энергии в малом объеме V внутри полости, обусловленную излучением стенок полости. Вершина конуса телесного угла находится на элементе поверхности который находится на расстоянии от объема V. Можно считать, что при пересечении этого конуса с малым объемом V образуется цилиндр с поперечным сечением и длиной . В соответствии с выражением (1.13) энергия, испускаемая в единицу времени элементом поверхности в телесный угол равна где В — яркость поверхности черного тела. Часть этой энергии, равная приходится на объем V. Поскольку энергия в объеме V будет равна Чтобы получить полный вклад энергии излучения от элемента поверхности в объем V, мы должны проинтегрировать это выражение по всем телесным углам,

которые опираются на элемент что дает Затем нужно проинтегрировать энергию излучения по всей поверхности черного тела. Таким образом, для плотности энергии в объеме V получаем следующее выражение:

Заметим, что величина равна телесному углу под которым поверхность видна из любой точки объема V (который предполагается малым). Следовательно,

Кроме того, интегральная интенсивность излучаемая элементом дается выражением

С помощью этого выражения мы приходим к окончательному результату:

где — показатель преломления среды, заполняющей полость, и — скорость света в вакууме. Очевидно, такое же соотношение применимо и к спектральным плотностям соответствующих величин, так что

Следует заметить, что величина (как и ) — не только излучаемая, но и поглощаемая элементом поверхности интенсивность. Следовательно, эта же величина представляет собой интенсивность, выходящую из отверстия в стенке полости. Подставляя (2.18) в (2.22), находим выражение для спектральной ннтенсивностн света, излучаемого полостью, являющейся черным телом.

Рис. 2.4. К расчету соотношения между интенсивностью излучения на поверхности полостн черного тела и плотностью его энергии.