4.5. Конфокальный резонатор

Теория конфокального резонатора была разработана в скалярном приближении Бойдом и Гордоном [9]. Чтобы изложить эту теорию, рассмотрим резонатор длиной причем одну зеркальную поверхность будем описывать в системе координат а другую — в системе координат как показано на рис. 4.25. Ради простоты будем считать, что оба зеркала имеют в поперечном сечении квадрат со стороной . В рамках скалярного приближения собственные решения даются выражением (4.74). В случае, когда , в амплитудном множителе можно снова положить Для того чтобы найти соответствующее приближение для фазового

множителя мы должны вычислить сначала расстояние между точками как функцию координат этих двух точек, а затем полученное выражение для разложить в степенной ряд:

Этот ряд является достаточно хорошим приближением для при условии, что как и в случае с плоскими зеркалами. Вводя затем безразмерные переменные выражение (4.74) можно записать в виде

где а, как и прежде, определяется выражением (4.79). Снова ищем решение методом разделения переменных в соответствии с (4.80). В результате получаем следующие уравнения:

Рис. 4.25. К вычислению мод конфокального резонатора с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа.

Физический смысл этих интегральных уравнений тот же самый, что и для плоскопараллельного резонатора. Они являются решениями задачи в случае одномерных зеркал (ленточных). Уравнения (4.86) имеют конечный набор собственных решений, которые мы будем обозначать индексами и I, т. е.

В отличие от случая резонатора с плоскими зеркалами, последние интегральные уравнения можно решить аналитически. Действительно, можно показать, что пропорциональны угловым сфероидальным функциям Фламмера, в то время как соответствующие собственные значения пропорциональны радиальным сфероидальным функциям Фламмера. Эти функции табулированы в работе [10].

Что касается собственных функций, то их можно найти значительно более просто в случае, когда При этом в уравнениях (4.86) интегрирование можно распространить и на всю область от до В этом случае правые части уравнений (4.86), за исключением коэффициентов пропорциональности, представляют собой фурье-образы распределений соответственно Таким образом, согласно (4.86), искомые собственные функции должны быть инвариантными относительно фурье-преобразования. Известно, что этим свойством обладает произведение гауссовой функции и полинома Эрмита. Возвращаясь к исходным координатам х и у, собственные функции можно записать соответственно в виде

где — полиномы Эрмита порядков. Таким образом, полная собственная функция записывается в виде

Рассмотрим теперь несколько примеров. Если то и из (4.88а) имеем

На рис. 4.26 приведены зависимости функции от для двух значений числа Френеля На расстоянии от центра зеркала амплитуда электрического поля на нем уменьшается в раз относительно своего максимального значения, причем величина дается выражением

Если , то На рис. 4.27 приведены зависимости нормированной величины от для двух значений числа Френеля. Поскольку полная модовая картина определяется выражением (4.87а), мы получаем следующие моды низшего порядка:

1) Мода Собственное решение записывается в виде Эта мода имеет гауссово распределение как в направлении х, так и в направлении у. В данном случае модовая картина представляет собой круглое светящееся пятно на зеркале (рис. 4.28), причем его размер равен Поэтому называют размером пятна на зеркале.

Рис. 4.26. (см. скан) Симметричная мода низшего порядка в конфокальном резонаторе.

Например, в случае мкм и получаем .

2) Мода Собственное решение записывается в виде зависимость поля в направлении оси х такая же, как и на рис. 4.26, в то время как в направлении у амплитуда поля ведет себя так, как показано на рис. 4.27. Световое пятно, которое образуется на зеркале для этой моды, изображено на рис. 4.28.

3) Мода Собственная функция в этом случае имеет вид а соответствующая зависимость поля вдоль осей х и у приведена на рис. 4.27.

Аналогичным образом можно найти собственные функции и распределения мод более высокого порядка, например и на рис. 4.28. Следует заметить, что в общем случае индексы и I равны числу нулей поля (за исключением нулей при соответственно вдоль осей х и у.

До сих пор мы рассматривали только собственные функции уравнений (4.86). Обращаясь теперь к собственным значениям, снова в приближении получаем

Рис. 4.27. Антисимметричная мода низшего порядка в конфокальном резонаторе.

Отсюда, используя условие (4.83), находим следующее выражение для резонансных частот:

Соответствующий спектр частот приведен на рис, 4.29, Следует заметить, что моды, характеризующиеся одним и тем же значением суммы , имеют одинаковые резонансные частоты, хотя их пространственные конфигурации различны. Эти моды называются частотно-вырожденными. Заметим также, что в отличие от случая плоских волн (рис. 4.19) разность частот между двумя модами (межмодовое расстояние) теперь равна Однако разность частот между двумя модами с одними и теми же значениями (например, ) и с различающимися на единицу (разность частот между двумя соседними продольными модами), равна т. е. точно такая же, как и для резонатора с плоскими зеркалами.

Рассмотрим теперь дифракционные потери в резонаторе. Прежде всего заметим, что, если воспользоваться выражением (4.92), то получим от т. е. дифракционные потери отсутствуют. Этот результат является следствием того, что в (4.86) мы положили (зеркала с очень большой апертурой).

Следовательно, чтобы рассмотрение собственных значений имело смысл, в уравнениях (4,86а) и (4.86б) необходимо считать величину конечной; иными словами, необходимо рассмотреть радиальные сфероидальные функции Фламмера.

Рис. 4.28. Распределения интенсивности некоторых мод низшего порядка.

Рис. 4.29. Резонансные частоты конфокального резонатора.

На рис. 4.30 показаны зависимости дифракционных потерь от числа Френеля вычисленные по значениям этих функций для мод низшего порядка. Действительно, как следует из уравнений (4.86) и (4.876), , следовательно, должны быть функциями только параметров Сравнение рис, 4.30 и 4.24 показывает, что для данного числа

Френеля дифракционные потери в конфокальном резонаторе значительно меньше, чем в резонаторе с плоскими зеркалами. Это нетрудно понять, если заметить, что благодаря фокусирующему действию сферических зеркал поле в конфокальном резонаторе сосредоточивается главным образом вдоль оси резонатора (ср., например, кривые на рис. 4.26 и 4.21 или на рис, 4.27 и 4.23 при одних и тех же значениях числа Френеля).

Рис. 4.30. Дифракционные потери в конфокальном резонаторе за один проход в зависимости от числа Френеля. (Согласно Бойду и Гордону [9].)

Если известно распределение поля на зеркалах, то поле в любой точке внутри резонатора можно получить, используя опять интеграл Френеля — Кирхгофа. В предельном случае можно показать, что если направить ось вдоль оси резонатора и расположить начало координат в центре резонатора, то распределение поля запишется в виде

где

На первый взгляд выражение (4.95) кажется очень сложным, однако ниже мы покажем, что отдельные части этого выражения имеют простой смысл. Прежде всего заметим, что первая

строчка (4.95) представляет собой амплитуду поля и мы будем называть ее амплитудным множителем. Вторая строчка в (4.95) дает изменение фазы вдоль оси резонатора и может быть названа продольным фазовым множителем. Третья строчка выражает изменения фазы в плоскости, перпендикулярной оси резонатора, и может быть названа поперечным фазовым множителем.

Чтобы изучить амплитудный множитель, рассмотрим сначала моду . В этом случае и амплитудный множитель принимает вид

Выражение (4.100) показывает, что, если не учитывать множитель значение которого мы обсудим позже, то снова описывается гауссовой функцией, ширина которой на уровне от максимального значения в соответствии с (4.96) является функцией продольной координаты

Рис. 4.31. Размер пятна и поверхности равной фазы для моды в конфокальном резонаторе.

Следовательно, в произвольной точке внутри резонатора пучок сохраняет гауссов профиль, но размер пятна изменяется в продольном направлении. На рис. 4.31 сплошными линиями показано изменение размера пятна, построенное в соответствии с выражением (4.96). Заметим, что минимальный размер пятна соответствует точке Поэтому величину определяемую из выражения (4.97), обычно называют размером пятна в перетяжке пучка. Заметим, что при (т. е. на зеркалах) из выражения (4.96) имеем что согласуется с (4.91). Таким образом, размер пятна на зеркалах в 2 раз больше, чем в центре резонатора. Это согласуется с тем фактом, что зеркала стремятся сфокусировать пучок в центре резонатора. Следует также заметить, что в гауссовом пучке расстояние между двумя точками на оси пучка, в которых размер пятна в V раз больше,

чем размер пятна в перетяжке пучка, называется конфокальным параметром Таким образом, в рассматриваемом случае равно т. е. в соответствии с (4.97)

Рассмотрим теперь моды более высокого порядка, т. е. в амплитудном множителе выражения (4.95) . При этом мы видим, что распределение поля в произвольной точке внутри резонатора дается снова произведением гауссовой функции на полиномы Эрмита. Поэтому распределение интенсивности моды, скажем сохраняется (см. рис. 4.28) в любой точке внутри резонатора. Следует заметить, что переменные х и у, входящие в выражении (4.95) в полиномы Эрмита, нормированы на т. е. на размер пятна. Это означает, что с изменением размеры мод высшего порядка в радиальном направлении меняются таким же образом, как и у моды Поэтому относительные размеры различных распределений поперечных мод сохраняются неизменными во всех точках вдоль пучка.

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель в котором величина дается выражением (4.94). Выбор знака или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен Данное обстоятельство приводит к двум взаимосвязанным

следствиям: 1) фазовая скорость гауссова пучка близка к скорости света плоской волны, хотя слегка превышает ее; 2) резонансные частоты конфокального резонатора отличаются от тех, которые получаются для случая плоской волны [см. (4.3)]. Действительно, из выражения (4.95) находим, что набег фазы за один проход равен что соответствует соотношению (4.93), если к добавить набег фазы плоской волны

Рассматривая, как и выше, две распространяющиеся навстречу друг другу волны, нетрудно понять физический смысл того, почему в амплитудный множитель выражения (4,95) входит величина Если из двух распространяющихся навстречу волн выбрать любую из них, то, поскольку мы предположили, что среда, в которой распространяются волны, не имеет потерь, полная мощность, переносимая этой волной, должна быть одной и той же в любой плоскости Отсюда следует, что интеграл не должен зависеть от Это условие выполняется именно благодаря наличию величины Действительно, можно написать следующее выражение:

где Внимательно изучая это выражение, можно убедиться в том, что не зависит от

Наконец, рассмотрим в выражении (4.95) множитель, описывающий изменение фазы в поперечном к оси резонатора направлении. Наличие этого множителя указывает на то, что плоскости не являются поверхностями постоянной фазы, т. е. волновые фронты не являются плоскими. Поэтому необходимо определить форму эквифазных поверхностей. В соответствии с выражениями для поперечного и продольного фазовых множителей в (4.95) уравнение эквифазной поверхности, которая пересекает ось в некоторой данной точке запишется в виде

где мы пренебрегли очень небольшим изменением фазы в продольном направлении. Уравнение (4.102) показывает, что эквифазная поверхность представляет

собой параболоид вращения относительно оси Покажем теперь, что радиус кривизны этого параболоида в точке в точности равен Для этого рассмотрим сферическую поверхность радиусом пересекающую ось под прямым углом в точке Нетрудно показать, что уравнение такой сферической поверхности имеет вид При это уравнение сводится к (4,102). Поэтому можно заключить, что эквифазные поверхности в хорошем приближении описываются сферами с радиусом кривизны Однако следует заметить, что, согласно выражению (4.98), этот радиус кривизны зависит от координаты 2 Наглядные примеры эквифазных поверхностей показаны на рис. 4.31 штриховыми линиями для нескольких точек вдоль оси резонатора. Заметим, что при (центр резонатора) и волновой фронт является плоским, как и следовало ожидать из соображений симметрии. Заметим также, что при (т. е. на зеркалах) Отсюда следует, что вблизи зеркал эквифазные поверхности совпадают с поверхностью зеркал. Это можно объяснить исходя из следующих двух соображений:

1) если рассматривать поле в виде распределения стоячих волн и считать, что оба зеркала металлические, то на поверхности обоих зеркал напряженность поля должна обращаться в нуль, а отсюда следует, что на этих поверхностях поле должно иметь одну и ту же фазу; 2) если поле представить в виде суперпозиции бегущих волн, то волна, распространяющаяся, скажем, вправо на рис. 4.31, после отражения на зеркале 2 должна преобразоваться в волну, бегущую влево. С точки зрения геометрической оптики лучи вблизи зеркала 2 должны быть перпендикулярны поверхности зеркала. Отсюда следует, что перпендикулярная этим лучам эквифазная поверхность должна совпадать с поверхностью зеркала.

До сих пор мы рассматривали распределение поля только внутри резонатора. Впрочем, вычисление поля вне резонатора не вызывает теперь затруднений. Действительно, мы видели, что

Рис. 4.32. К выводу уравнения сферической поверхности равной фазы.

распределение поля внутри резонатора можно рассматривать как результат суперпозиции волн, одна из которых распространяется на рис. 4.31 вправо, а другая — влево. Если оба зеркала частично прозрачны, то зеркало 2 будет пропускать лишь волну, распространяющуюся вправо, а зеркало 1 — волну, распространяющуюся влево (см. рис. 4.31). Это означает, что как выражение (4.95), так и (4.96) — (4.99) справедливы в любой точке вне резонатора. Например, электромагнитное поле, выходящее, скажем, из зеркала 2, получается умножением в (4.95) на .