4.6. Распространение гауссова пучка и закон АBCD

Рассмотрим сначала свободное распространение однородной сферической волны из точечного источника Р, расположенного в точке (рис. 4.33). Поле создаваемое этой волной в точке с цилиндрическими координатами в случае записывается в виде

где — радиус кривизны сферической волны в точке Отсюда мы видим, что поперечное изменение фазы пучка, а именно

должно описываться сферической волной радиусом

Рис. 4.33. К вычислению напряженности поля, создаваемого в точке сферической волной, исходящей из точки Р.

Рассмотрим свободное распространение гауссова пучка . Как указывалось в предыдущем разделе, его распространение описывается выражениями (4.95) — (4.99) (при Следует, в частности, заметить, что с помощью (4.97) выражения (4.96) и (4.98) можно преобразовать следующим образом:

Для данной длины волны К как так и (а следовательно, и распределение поля) в данной точке зависят исключительно от Это нетрудно понять, если заметить, что в плоскости известно как распределение амплитуды поля (поскольку известна величина и мы договорились, что распределение поля является гауссовым), так и фазы (поскольку в перетяжке). Тогда поле в любой другой точке пространства можно вычислить, начиная с известного распределения поля в перетяжке пучка с помощью, например, интеграла Френеля — Кирхгофа (4.73). Отсюда можно прийти к заключению, что если известно положение перетяжки пучка и ее размер, то распространение гауссова пучка всегда можно описать выражениями (4.105) и (4.106), независимо от того, является ли перетяжка минимальным размером пятна пучка внутри резонатора или же минимальным размером пятна в любой другой точке вдоль пучка (например, благодаря фокусировке пучка положительной линзой). Расстояние от перетяжки пучка, на котором размер пятна увеличивается в раз, называется рэлеевской длиной Из выражения (4.105) получаем

Сравнивая это выражение с (4.101), находим, что т. е. рэлеевская длина равна половине конфокального параметра.

Распространение гауссова пучка можно описать в более простой и удобной форме, если определить комплексный параметр следующим образом:

Нетрудно показать, что использование параметра позволяет записать выражения (4.105) и (4.106) в значительно более простом виде:

где

Параметр называется комплексным радиусом кривизны гауссова пучка или, что более привычно, комплексным параметром пучка. Действительно, в соответствии с выражением (4.95) поперечное изменение фазы пучка можно записать как

что совпадает с аналогичной записью в случае сферической волны [см. (4.104)], причем радиус кривизны сферической волны заменяется параметром

Параметр обеспечивает весьма удобный способ описания распространения гауссова пучка, как видно, например, из очень простого вида закона распространения пучка, записанного через параметр [см. (4.109)]. Это удобство связано также и со следующим общим результатом: если гауссов пучок на входе некоторой оптической системы, описываемой данной ABCD-матрицей, характеризуется комплексным параметром то на выходе этой системы параметр пучка запишется весьма просто:

Этот закон, который очень похож на соответствующий закон для распространения сферической волны [см. выражение (4.18)], обычно называют ABCD-законом распространения гауссова пучка. Доказательство справедливости выражения (4.112) для произвольной оптической системы весьма сложно [11]. Поэтому ограничимся здесь лишь рассмотрением его справедливости для нескольких простых случаев.

Рассмотрим вначале свободное распространение гауссова пучка от плоскости до . В соответствии с (4.109) можно написать следующее равенство:

где мы положили Выражение (4.113) в точности совпадает с тем, которое было бы получено с помощью закона (4.112), если бы мы использовали матрицу (4.7) для свободного распространения [при с (4.19)].

Изучим теперь прохождение гауссова пучка через линзу с фокусным расстоянием (рис. 4.34,а). Если линза тонкая, то амплитудные распределения пучка непосредственно перед и после линзы совпадают, т. е. размеры пятна могут меняться лишь непрерывным образом. Таким образом, размеры пятна до и после линзы не изменяются, т. е.

Чтобы определить соответствующее изменение кривизны волнового фронта, рассмотрим вначале прохождение через ту же самую линзу сферической волны (рис. 4.34,б). В данном случае сферическая волна, исходящая из точечного источника фокусируется линзой в точечное изображение . В этом случае радиусы кривизны непосредственно до и после линзы будут связаны соотношением (4.20). Иными словами, сферическая

линза преобразует радиус кривизны падающей волны в радиус кривизны выходящей волны в соответствии с соотношением (4.20). Точно таким же образом радиус кривизны выходящего гауссова пучка на рис. 4.34, а будет определяться соотношением (4.20). Согласно этому соотношению и (4.114), преобразование комплексного параметра можно записать в виде

Это соотношение снова очень похоже на (4.20). Нетрудно теперь показать, что соотношение (4.115) в точности совпадает с тем, которое было бы получено при использовании матричных элементов тонкой линзы [см. (4.9)].

Рис. 4.34. Прохождение через линзу гауссова пучка (а) и сферической волны (б).

Закон (4.112), справедливый для произвольной оптической системы, находит очень широкое применение для решения многочисленных задач, например для описания распространения гауссова пучка через оптическую систему из сложной последовательности линз, разделенных произвольными промежутками. В качестве элементарного примера проиллюстрируем применение закона для получения фокусировки гауссова пучка линзой.

Рассмотрим гауссов пучок с размером пятна и плоским волновым фронтом, входящий в линзу с фокусным расстоянием (т. е. перетяжка пучка совпадает с местоположением линзы). Требуется определить положение перетяжки пучка после линзы и размер пятна доог в этой перетяжке. В соответствии с формулами

(4.7) и (4.9) матрица системы, состоящей из линзы с фокусным расстоянием вслед за которой расположен свободный от оптических элементов промежуток длиной имеет вид

Чтобы решить нашу задачу с помощью этой АВСD-матрицы, выражение (4.112) нужно преобразовать к виду

где в соответствии с (4.110) дается выражением

здесь — рэлеевская длина, соответствующая размеру пятна в перетяжке Согласно (4.108), положение перетяжки пучка после линзы можно найти, если потребовать, чтобы величина 1/2. как и была чисто мнимой. Из (4.117) и (4.118), используя конкретные значения матричных элементов, нетрудно показать, что

Таким образом, мы с удивлением обнаруживаем, что минимальный размер пятна достигается на расстоянии которое всегда меньше фокусного расстояния Впрочем, следует отметить, что в обычных условиях так что Следовательно, если положить то размер пятна в фокальной плоскости получается из мнимой части формулы (4.117) в виде