5.4.3.3. Теория активной модуляции добротности

Для простоты ограничимся рассмотрением лишь активной модуляции добротности и в дальнейшем будем считать, что переключение добротности происходит мгновенно (быстрое переключение). С целью описания происходящих в лазере процессов можно снова воспользоваться уравнениями (5.18) и (5.24) соответственно для четырех- и трехуровневых лазеров.

Рассмотрим сначала импульсный четырехуровневый лазер (рис. 5.32) и предположим, что при потери столь велики, что лазер находится в условиях ниже пороговых (т. е. при Если модуляция добротности происходит в момент времени, когда достигает максимального значения, то соответствующую начальную инверсию можно получить из

уравнения (5.18а), полагая в его левой части Тогда, предполагая и учитывая, что получаем

где — значение скорости накачки в момент времени Предположим теперь, что временная зависимость имеет всего один и тот же вид независимо от величины интеграла т. е. от энергии накачки. Тогда можно положить так что, например, если удваивается то удваивается также и Таким образом, если — энергия накачки, соответствующая данной скорости накачки то из соотношения (5.86) и последующего обсуждения вытекает, что Следовательно, обозначив начальную инверсию при работе лазера на пороге генерации как а соответствующую энергию накачки как мы можем написать

где Поскольку — это попросту критическая инверсия для данного лазера (в режиме модулированной добротности), ее значение можно получить из уравнения (5.186), полагая Таким образом мы находим, что [см. также (5.26)]. Если известна т. е. известны и если также известно отношение х энергии накачки и пороговой энергии накачки, то выражение (5.87) позволяет найти начальную инверсию

После того как мы вычислили эволюцию системы во времени после включения добротности (т. е. при ) можно описать уравнением (5.18) с начальными условиями Здесь вновь — небольшое число фотонов, необходимое для того, чтобы началась лазерная генерация. Впрочем, уравнения можно существенно упростить, поскольку мы ожидаем, что изменения во времени величин происходят за столь короткие промежутки времени, что в уравнении (5.18а) можно пренебречь членом отвечающим за накачку, и членом отвечающим за релаксацию. Тогда уравнения (5.18) сводятся к следующим:

Прежде чем продолжить наше рассмотрение, следует заметить, что в соответствии с (5.886) населенность отвечающая

максимуму светового импульса (см. рис. 5.26, б), т. е. когда дается выражением

которое в точности совпадает с выражением для критической инверсии Этот результат с учетом выражения (5.87) позволяет записать отношение в виде, полезном для дальнейшего рассмотрения:

Сделав эти предварительные замечания, можно перейти к вычислению пиковой мощности импульса, выходящего из лазера через, скажем, зеркало 2. Согласно (5.20), мы имеем

здесь — число фотонов в резонаторе в тот момент времени, когда лазерный импульс достигает пикового значения. Для вычисления разделим уравнение (5.88б) на (5.88а). Учитывая также соотношение (5.89), получаем уравнение

которое нетрудно проинтегрировать, и мы имеем выражение

где для простоты мы пренебрегли небольшим числом Тогда в максимуме импульса получаем

Из этого выражения можно сразу получить если известны [из (5.89)] и отношение [из (5.90)]. Теперь из формул (5.91) и (5.94) можно вычислить пиковую выходную мощность

Следует заметить, что в данном выражении мы использовали формулу (5.22) для объема

Вычислим теперь выходную энергию Е. Для этого сначала заметим, что

где - выходная мощность как функция времени и где мы использовали формулу (5.20). Интегрирование в выражении (5.96) нетрудно выполнить, если проинтегрировать обе части

уравнения (5.886) и заметить, что При этом получаем Интеграл можно теперь вычислить, интегрируя обе части уравнения (5.88а), откуда находим где — конечная инверсия населенностей (см. рис. 5.26, б). Таким образом, получаем и выражение (5.96) принимает вид

Смысл этого выражения нетрудно понять, если заметить, что величина -это имеющаяся в наличии инверсия, которая дает число фотонов Из этого числа фотонов, испущенных средой, лишь фотонов дает выходную энергию. Чтобы вычислить Е с помощью (5.97), необходимо знать Эту величину можно получить из выражения (5.93), полагая в нем Поскольку получаем

Рис. 5.34. Коэффициент использования энергии в зависимости от отношения начальной инверсии к пиковой.

Из этого соотношения находим как функцию величины Стоящая слева в (5.98) величина называется коэффициентом использования инверсии (или энергии). Действительно, хотя начальная инверсия равна фактически используется лишь разность Соотношение (5.98) можно переписать через следующим образом:

На рис. 5.34 построена кривая зависимости коэффициента использования энергии от полученная вычислением (5.99). Заметим, что при больших значениях т. е. когда энергия накачки намного превосходит пороговую энергию накачки, коэффициент использования энергии стремится к единице.

Заметим также, что переписывая (5.97) через и учитывая формулы (5.22) и (5.89), это выражение можно представить в более простом и наглядном виде:

Если известны выходная энергия и пиковая мощность, то можно найти приближенное значение длительности импульсов определив его с помощью соотношения Из выражений (5.100) и (5.95) получаем

Заметим, что в зависимости от значения величина примерно в 2—8 раз больше времени жизни фотона в резонаторе Например, выбрав из рис. 5.34 получаем а из (5.101) имеем Однако следует заметить, что выражение (5.101) дает лишь приближенное значение поэтому необходимо также помнить, что импульс является несимметричным, поскольку длительность его переднего фронта всегда меньше длительности заднего фронта Например, если определить как интервалы времени от пиковой мощности импульса до моментов времени, соответствующих половине пиковой мощности, то численный расчет для рассмотренного выше примера дает значения Мы видим, что в данном примере вычисленное при помощи соотношения (5.101) приближенное значение примерно на 9% превышает расчетное значение Полученное соотношение приближенно выполняется для любого

Время задержки между максимумом импульса и моментом включения добротности резонатора та (см. рис. 5.32) можно считать приближенно равным времени, которое необходимо для того, чтобы число фотонов достигло определенной величины относительно максимального числа фотонов. Если выбрать, например, эту долю равной 1/10, то до этого момента времени не произойдет сколько-нибудь заметного насыщения инверсии и в уравнении (5.886) можно воспользоваться приближением Тогда это уравнение с учетом соотношений (5.89) и (5.90) принимает вид и после интегрирования мы имеем

Подставляя сюда находим время задержки та. Таким образом, полагая получаем

здесь дается выражением (5.94). Заметим, что, поскольку очень большое число в примере, рассматриваемом в следующем разделе), величина не изменилась бы существенно, если бы в выражении (5.103) под знаком логарифма вместо мы выбрали

Рассмотрим теперь импульсно-периодический лазер с модуляцией добротности при непрерывной накачке (рис. 5.33). Прежде всего заметим, что после включения добротности и в течение времени формирования импульса модуляции добротности по-прежнему применимы уравнения (5.88). Следовательно, пиковая выходная мощность, выходная энергия и длительность импульса даются соответственно выражениями (5.95), (5.100) и (5.101).

Однако уже не определяется выражением (5.90), поскольку ее следует вычислять исходя из других соображений. Действительно потребуем теперь, чтобы за время между двумя следующими друг за другом импульсами накачка восстанавливала начальную инверсию, причем накачка происходит от значения инверсии Интегрируя уравнение (5.18а) [положив ], получаем

Из соотношений (5.26), (5.27) и (5.89) имеем При этом выражение (5.104) приводит к следующему уравнению:

где х — число, показывающее во сколько раз скорость непрерывной накачки превосходит пороговое значение, -нормированная частота повторения импульсов лазера. Уравнения (5.105) и (5.98) (последнее по-прежнему

Рис. 5.35. Лазер с модуляцией добротности, работающий в импульсно-периодическом режиме с непрерывной накачкой. Зависимость от величины х, на которую скорость накачки превышает свое пороговое значение для нескольких значений нормированной частоты повторения импульсов

справедливо) составляют систему двух уравнений, которые позволяют вычислить если известны На рис. 5.35 приведены полученные таким образом зависимости величины от величины х, которая показывает, во сколько раз превзойден порог для нескольких значений нормированной частоты Для данных значений х и с помощью рис. 5.35 находят соответствующее значение Определив из рис. 5.34 можно найти или, что эквивалентно, коэффициент использования энергии Если же известны то из выражений (5.95), (5.100) и (5.101) нетрудно найти соответственно Заметим, что в пределах рассматриваемых нами значений зависимость между близка к линейной.

Вычисления для трехуровневого лазера производятся аналогичным образом, при этом исходят из уравнения (5.24). Вследствие ограничений на объем книги мы не приводим здесь этих расчетов.