4.3. Время жизни фотона и добротность резонатора

В данном разделе первая наша цель — это вычислить скорость релаксации энергии в данной (резонансной) моде оптического резонатора. Рассмотрим для простоты плоскопараллельный резонатор (рис. 4.1). В этом случае, исходя из приведенного выше рассмотрения, каждую моду резонатора можно

представить себе как суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть начальная интенсивность одной из этих волн. Если коэффициенты отражения (по мощности) двух зеркал, относительные внутренние потери за проход вследствие дифракции, то интенсивность в момент времени т. е. после одного полного прохода резонатора, запишется в виде

Интенсивность после полных проходов, т. е. в момент времени

равна

Если - полное число фотонов в резонаторе в момент времени то, разумеется, оно пропорционально интенсивности, т. е. и в соответствии с (4.58) можно написать следующее выражение:

где — число фотонов, изначально присутствовавших в резонаторе. Следовательно, число фотонов в момент времени равно

Сравнение двух последних выражений с (4.57) показывает, что

откуда находим

Если теперь предположить, что соотношение (4.60) справедливо не только в момент времени но в любой момент то можно написать

здесь — время жизни фотона, определяемое выражением (4.62). Например, если выбрать то из (4.62) получаем где — время одного прохода фотоном резонатора. Из этого примера видно, что время жизни много больше времени прохода. Если

положить где — скорость света в вакууме, то получим не и не.

При условии, что выражение (4.63) справедливо, временную зависимость электрического поля в произвольной точке внутри или вне резонатора можно представить в виде [см. также выражение (4.2)] . С помощью фурье-преобразования этого выражения нетрудно показать, что спектр мощности излучения имеет лоренцеву форму линии с полушириной (полная ширина на половине максимального значения)

Следует заметить, что найденный таким образом спектр излучения не совпадает с полученным в предыдущем разделе спектром пропускания, форма которого не является лоренцевой; см. выражение (4.27). В частности, полученное здесь выражение для [см. (4.64)], если в нем вместо подставить выражение (4.62) при не совпадает с соответствующим выражением в предыдущем разделе [см. (4.36)]. Это расхождение можно понять, если снова вернуться к приближению, которое мы сделали при написании выражения (4.63). Однако расхождения между числовыми результатами, полученными из расчетов по этим формулам, совсем невелики, особенно при высоких коэффициентах отражения. Например, если то из формулы (4.64) с учетом (4.62) мы получим в то время как из . Даже при низких коэффициентах отражения расхождение незначительно. Действительно, из (4.64) получаем а из (4.36) имеем Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что форма линии резонатора является лоренцевой с шириной, определяемой выражением (4.64), и что она одна и та же, как для излучения, так и для пропускания.

Рассмотрев время жизни фотона в резонаторе, определим теперь понятие добротности разонатора и найдем связь этой величины с временем жизни фотона. Для любой резонансной системы, и в частности для резонирующей полости, добротность определяют как (Запасенная энергия)/(Энергия, теряемая за один цикл колебания). Таким образом, высокая добротность резонатора означает, что резонансная система имеет малые потери. Поскольку в нашем случае запасенная энергия равна а энергия, теряемая в течение одного цикла колебаний, равна мы имеем

При этом из (4.63) находим

Это выражение с помощью (4.64) можно преобразовать к более удобному виду:

Таким образом, добротность резонатора равна отношению резонансной частоты к ширине линии резонатора Для конкретных значений и Гц мкм) получаем Следовательно, в течение одного цикла колебания оптический резонатор теряет небольшую долю энергии!